Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
4 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 419
P V
телыю базисов (ец) и (/н) модулей Д ? и Д Если (Zft) —последовательность индексов, образующих AT, расположенных в порядке
р
возрастания, то Д и (ек)—и (е^) Д ... А и(е;'р); поэтому элемент
р
матрицы отображения Д и, стоящий на пересечении строки с индексом # и столбца с индексом К, есть не что иное, как #-я компонента
р
разложимого р-вектора Ди(ек), т. е. минор Хн, к матрицы X.
р
Иными словами, матрицей отображения Ди служит матрица (Хд,к) (из ctPok и 3 столбч°в)> образованная мино-
рами р-го порядка матрицы X (со знаком, установленным опи-
р
санным выше образом); мы будем обозначать ее Д X и называть p-й внешней степенью матрицы X.
4. Разложения определители
Вернемся к формуле (3), задающей определитель матрицы
X = (Ijj) гг-го порядка. Пусть H — подмножество множества индексов [1,га], состоящее из р элементов (1<р<и), H' — его дополнение относительно [1,п] и (ik) (соответственно (Zfc)) — последовательность индексов, образующих H (соответственно H'), расположенных в порядке возрастания; можно написать
ас, А ... А *« = Qh1 H' К А • • • А %) A (^1 А ... А ®уп_р), (8)
где Qh н'=(— ^)V’ а v означает число тех пар (i, j), в которых igtf, /С H' и/< г (§ 5, п° 9). В обозначениях из п° 3 имеем
Si1A--.А** =2 ек^я, Hi
і P к
А ••• А ж;п_р — 2 ех,Хь, H'.
где К пробегает множество всех подмножеств интервала [1,га], состоящих из р элементов, a L-— множество всех подмножеств этого интервала, состоящих из п—р элементов. Подставляя эти выражения в (8) и принимая во внимание таблицу умножения базиса (ев) внешней алгебры (§ 5, п° 9, формула (14)), мы видим, что l0JiAei1=O, если только L не равно дополнению К' множества К
27*
420
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 6
относительно Это приводит к следующей формуле для опре-
делителя матрицы X:
det X = QHt н, Qgt K,XKi ДХК,'н,. (9)
Эта формула известна под названием лапласовского разложения определителя матрицы X по р столбцам с индексами из H (или по га—р столбцам с индексами из H'); миноры Хк, я 0 Хк-, н' называются дополнительными друг к другу.
Важный случай лапласовского разложения имеем при р=1, #={/}; тогда для каждого множества К={і}, состоящего из одного элемента, Xjf1H-Si3-; Хк-, н' есть минор (п—1)-го порядка, получающийся путем вычеркивания в X /-го столбца и г-й строки и обозначаемый далее Xtj . Так как, очевидно, Qff, н/==(—1У 1HQk1 к’ — = (—1. \ то формула (9) принимает в этом частном случае вид
det X =S (_1)4%х*'; (10)
і—і
ее называют разложением определителя матрицы X по j-му столбцу. Минор (—IY+iXli называется алгебраическим дополнением элемента Ii3-.
Отметим, что при заданном множестве Hd [1, п\ из р элементов миноры Хк, я зависят лишь от элементов матрицы X, находящихся в столбцах с индексами, принадлежащими Я; из этого замечания вытекает, что если L — подмножество в [1 ,га], состоящее из п—р элементов и не совпадающее с дополнением H' к Н, то
2 Qk, К'Хк, нХк\ L = 0. (11)
к
Действительно, это выражение дает, с точностью до знака, лап-
ласовское разложение (по столбцам с индексами і ? Н) опреде-
лителя, получающегося путем замены в определителе матрицы X
столбцов, индексы которых принадлежат H', столбцами, индексы
которых принадлежат L (с соблюдением расположения индексов).
Так как H и L имеют по крайней мере один общий индекс, то этот
новый определитель имеет по крайней мере два одинаковых столбца
и, значит (предложение 2), равен нулю.
4
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
421
В частности, при к Ф j имеем
S(-i)%xih
:0.
(12)
Рассматривая определитель матрицы, транспонированной к X, мы, в силу предложения 4, снова получаем «разложения» для det X, на этот раз по строкам этого определителя.
Замечание. Лапласовское разложение существенно опирается на ассоциативность внешнего произведения; было бы выгоднее прямо воспользоваться этим свойством, не прибегая к помощи формулы (9).
Примеры. 1) Определитель В а н д е р м он д а. Пусть (zj)li?i<n— заданная последовательность п элементов кольца^. Определителем Вандермонда этой последовательности называется определитель п-то порядка
1 1
(13)
-П-1 -П-1 -Tl
Z1 Z2 ... Zn
Покажем, что
I (21, • zn)= JJ (zj H)-»</
Принимая во внимание очевидность утверждения при п=1, проведем доказательство индукцией по п. Для каждого индекса k ^ 2 вычтем из к-й строки (к — 1)-ю, умноженную на Z1; значение определителя не изменится, и мы получим, ЧТО
1 1
'(Zi-
•¦I Zn)------
О Z2 — j О Z2 (z2
l)
Zn~Z I zn(zn' гі)
0 zJ-S(Z2-Z1) ... Z^r2(Zn-Z1)
Разлагая этот определитель по первому столбцу и затем вынося из (к — 1)-го столбца получающегося так минора множитель Zf1 — Z1 (2< к «С п), будем иметь
V (Z1, Z2, ...,Zn)= (Z2-Z1) (z3 — Z1) ... (Zn-Z1)V (Z2, ..., Zn),
откуда и следует справедливость формулы (13).
2) Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка, имеющую вид «квадратной клеточной матрицы» (гл. II, § 6, п° 5):
/ Y Т\
422 ПОЛИЛИНКИНАЯ длгкбра ГЛ. III, § 6
