Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим еще, что теорема 1, примененная к случаю р = п. позволяет вновь получить, в пополненном виде, предложение в § 6 относительно системы п однородных линейных уравнений! с п неизвестными:
•і ОПРЕДЕЛИТЕЛИ НАД ПОЛЕМ; РАЗЛОЖИМЫЕ ^-ВЕКТОРЫ 431
Предложение 2. Для того чтобы однородная линейная система п уравнений с га неизвестными над полем обладала ненулевым решением, необходимо и достаточно, чтобы определитель ее матрицы равнялся нулю.
3. Векторные подпространства и разложимые р-веь-
торы
Предложение 3. Пусть z — ненулевой р-вектор над векторным пространством Е; векторы х?Е, для которых гЛж=0, образуют в E векторное подпространство Vz; при этом, если (^i)—свободная система векторов из V2, то <?< р и существует (р — q)-eeKmop V такой, что z= ^Az1A • • • Axr
Действительно, образуем базис пространства Е, первыми q векторами которого служат X1, ... ,Xq (гл. II, § 3, теорема 2); пусть xq+1, ... ,хп-- остальные векторы этого базиса. В обозначениях из
и0 6 § 5 можно написать z = 2 0H^h, где H пробегает множество
н
всех подмножеств интервала [1, га], состоящих из р элементов; из выполнения соотношения z Д Xi= 0 для индекса і вытекает тогда, чтоая = 0 для каждого Н, не содержащего і; так как по предположению zAzi = O Для всех і от 1 до д, то мы видим, что осн = 0 для всех Н, не содержащих интервала [I, g'jCZN. Поэтому р > q и существует (р — д)-вектор v такой, что Z-Vftx1A ¦¦¦ Axq-
Следствие 1. Для каждого ненулевого р-вектора z над векторным пространством, E имеет место неравенство dim Vz < р; для разложимости z необходимо и достаточно, чтобы dim V2 = р.
Неравенство dimF;<p сразу следует из предложения 3, поскольку каждая свободная система в Vz содержит не более р элементов; если dim Vz = р, то для установления разложимости нужно взять в предложении 3 в качестве (^i) базис подпространства Vz; обратное очевидно, ибо если z = y1A ¦ • ¦ АУ-рФ^-, то векторы yi (1<г<р) образуют свободную систему (теорема 1) и принадлежат V., а значит, Vz р-мерно.
Если />-вектор z и вектор X отнесены к какому-нибудь базису ei)l<t<p пространства Е, то соотношение zA ^=O равносильно
системе ^ ” 13 ОДНОР°^НЫХ линейных уравнений для компонент
432
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. III, § 7
вектора х\ необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять компоненты jD-вектора z, чтобы он был разложимым,
получим, написав, что ( П. .') линейных форм, стоящих в левых
частях упомянутых уравнений, являются линейными комбинациями каких-нибудь п—р из них (см. § 8, упражнение 6). Компоненты р-вектора z иногда называют его грассманоескими координатами относительно базиса (ej).
Следствие 2. Пусть и (JZi)і^і.<р — две свободные'
системы р векторов векторного пространства Е. Для того чтобы (ненулевые) р-векторы X1Д ... Axp и у1А ¦ • ¦ АУр отличались друг от друга лишь скалярным множителем, необходимо и достаточно, чтобы (р-мерные) подпространства, порожденные соответственно векторами X1, . .., хр и yv .. ., ур, совпадали.
Таким образом, каждому ненулевому разложимому р-вектору z соответствует р-мерное векторное подпространство V, пространства Е; каждая (свободная) система (xt)i^i^p р векторов из E такая, что Z-X1A- ¦ • Дяр» является базисом этого подпространства Fj; мы будем называть Vz векторным подпространством, определяемым разложимым р-вектором z. Следствие 2 предложения 3 показывает, что каждое р-мерное векторное подпространство может быть определено разложимым р-вектором и что все разложимые р-векторы, определяющие одно и то же подпространство, отличаются друг от друга лишь ненулевым скалярным множителем.
Замечание. Пусть (*i)i^i$p и ІУ i) Ki^p —Два базиса одного и того же /(-мерного подпространства V пространства Е; пусть
г/4= 2 aijxj (1 <г Kp) & А — квадратная матрица (ац) p-то порядка
;=1
(матрица перехода 'от базиса (^i) к базису (Jzi) (гл. И, § 6, п° 9)). Согласно определению определителей (и предложению 7 § 5), имеем JZi А • • • A j/p = (det A) X1А • • • Д хр. Для равенства разложимых /«-векторов Z1A... А хр и Jz1 Д.. .A JZp необходимо и достаточно, чтобы матрица перехода от (Xi) к (Jzi) была унимодулярной.
Пусть ? отнесено к определенному базису (^i), <i<n; отнеся каждому свободному семейству (я,)1<;<р р векторов пространства E матрицу X из л строк и р столбцов, /-й столбец которой для каждого j <1 < / < р) образуют компоненты вектора X1 относительно базиса (й;),
-V
,‘НІ’КДІС.ИП 1 .!И ЛАД ПОЛЕМ; РАЗЛОЖИМЫЕ Л-НККТОРЫ
433
MW получим взаимно однозначное отображение свободных семейств из р векторов пространства E (имеющих [1, р\ своим множеством индексов) на множество ?р,„ (К) всевозмолсньгх матриц из л строк и р столбцов над полем К, имеющих ран? р. Если X н У — матрицы из /< строк и р столбцов, соответствующие описанным способом свободным системам (Xi)i^irp и (JZi)1-д-„, то для равенства /^-векторов
Xl А-..А Xp И IJ1 а..-А »/р необходимо и достаточно, чтобы существовала унимодулярная квадратная матрица Л p-то порядка такая, что Yr-XA. Тем самым определяется взаимно однозначное отображение множества всех разложимых р-векторов над E па фактормножество множества Lp,n(K) по отношению эквивалентности', «существует уни-модулярная квадратная матрица А p-то порядка такая, что Y=XA*.
