Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 165

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 159 160 161 162 163 164 < 165 > 166 167 168 169 170 171 .. 201 >> Следующая


¦4+1. і

определитель det (Pi,) (п —1)-го порядка равен

3) Доказать тождество

*1
XiXi
lKiK2X 3
A j А 2 • • ^n-IxU

Уі а13 aI 4 • • ®хп
Xi Уг а24. -O2Tl
K2X3 xS г/з • • азп
п-іхп • • ^n-X-rJi • • hn-lXn • . Xv. * Tl

- (xi i.Vi) (х2 ^гУг) (хп-і ^п-іУп-і) хп

Вывести из яего следующие тождества:

= К — Ьі) («2— h) ¦ ¦ ¦ (ап— Ьп),

1 I 1 .. 1
*1 as. aI . . Oi
*1 60 а2 .. C2
Ьі Ьр ь3 • • ап
^bl а 1^2 й]рг • • а\Ъп
й%Ьп & 2^2 а2Ъ3 •• аФп
Gjb3 йфъ C3^ 3 аЗЬп
ахЪп а 2&П C3^n • • ап Ьп
C2Cg • . ¦ ап ¦ • • anbi
Ь2Ъ3 . .. Ьп U3Vl ¦ * апа\
Я2Ьд . . . Ьп 63»4 • • Mi
C2O3 . . Ьп а304 • • ¦ Mi

= Oibn (о-Фх OiЬ2) ... (anbn_i ап_1Ьп),

¦ anb\ at — an^i^2 • • ¦ аіМз - • • ^n-I

¦ • • апа 1^2 ¦ • • а1а2^3 • • ¦ ^n-X

bi ¦ ¦ ¦ bnbi a4 ... CnCja2 • ¦ • ... Ьп_х

аг C1 #2 • • • fin-i ^

ах ж О-i •• • ап-1 1

/і /і _ -ZT .* • 1

ц3... х

03 ¦ ¦ ¦ ап

— (а1®2 * * • bib% .
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ГЛ. Ill, R 6

йо * • • Qyi

а2 ' • • ап

O2

= (Х —(?1

—ап) (х — а,) (х — аг) . . . (х — ап).

[Свести последний определитель к предыдущему.

4) Вычислить определитель

ai h ь 1 . • А,
4 = а2 + Ь» Ь2 . ь.
ьп Ьп ьп ¦ «п-'-Ьп

{Выразить An с помощью Дп_і.]

5) Предполагая Oi и bj элементами поля такими, что а;+6,О для каждой пары индексов (і, /), доказать, что

det

П (aJ -ai) (6J - bO

____<i________________________________

-bi J ' |j («ц + ty

6) Показать, что если X — матрица из п строк и т столбцов, У — матрица из р строк и п столбцов, так что их произведение Z = = YX есть матрица из р строк и т столбцов, то при п<С q миноры 9-го порядка матрицы Z равны нулю, а при q <; п они задаются формулой

lL ,н-

К

. Н’

где К пробегает множество всех подмножеств интервала [1, л], состоящих из q элементов. [Воспользоваться формулой (8) § 5.]

7) Пусть Д = det (а;у) — определитель n-го порядка; обозначим через Д| для каждого индекса і определитель, получающийся путем умножения в Д каждого элемента а;,- (1 < / < п) на Pj-. Показать, что

і4"Рг

-Pn) Д-

[Разложить Ai по і-й строке.]

8) Пусть Д = det (Ciij) — определитель тг-го порядка ист — подстановка из ©п; пусть, далее, Д{ для каждого индекса г (I ^ і -< п) — определитель, получающийся путем замены в Д каждого элемента сц;

(К/< п) элементом а.

ч, O(J)1

и р — число индексов, инвариантных

относительно подстановки ст. Показать, что

Ді“Ь ДгЧ” • • • ¦

!Тот же метод, что и в упражнении 7.]
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

427

9) Пусть А — квадратная матрица п-го порядка, В — ее подматрица из р строк и q столбцов и С — матрица, получающаяся путем умножения в А каждого элемента из В на один и тот же скаляр а. Показать, что каждый член полного разложения определителя матрицы С равен соответствующему члену полного разложения определителя матрицы А, умноженному на скаляр вида аг, где г ;> p-\-q— п и зависит от рассматриваемого члена. [Образовать для det С надлежащее лапласовское разложение.]

10) Пусть Г и Д — определители п-го порядка, H и К — любые два подмножества интервала [1, л], состоящие каждое из р элементов, (ik) (соответственно (/?)) — последовательность, полученная путем расположения членов множества H (соответственно К) в возрастающем порядке; пусть, далее, 1’я, к — определитель, получающийся путем замены в Г каждого столбца с индексом ift (I fe<!jt>) столбцом определителя Д с индексом /?, и аналогично Дк, я — определитель, получающийся путем замены в Д каждого столбца с индексом /? (1 <с, <&</>) столбцом определителя Г с индексом ik. Показать, что для каждого Дс|1, и], состоящего из р элементов,

ГД = 2 ГН, If ДЯ, H'

к

где К пробегает множество всех подмножеств интервала [1, /г], состоящих из р элементов. (Воспользоваться формулами (9) и (И).]

11) Пусть Д — определитель квадратной матрицы X тг-ro порядка

и Др — определитель квадратной матрицы Д X, порядка ^ Показать, что

п

ДРДП-Р---А р -

[Воспользоваться формулами (9) и (И).]

12) Определитель det (Ctij) n-го порядка называется центросимметрическим (соответственно косоцентросимметрическим), если ctTi-Z+ 1» П-/+1 = aIj (соответственно an_i+1, n-j+1 = —сц,) для всех і и /.

а) Показать, что центросимметрический определитель четного порядка 2р можно представить в виде произведения двух определителей р-го порядка, а центросимметрический определитель нечетного порядка 2р-\-1 — в виде произведения определителей p-то и (р+1)-го порядков.

б) Показать, что косоцентросимметрический определитель четного порядка 2р можно представить в виде произведения двух определителей p-то порядка. Косоцентросимметрический определитель нечетного порядка 2р-\-і над А равен нулю, если в А соотношение 2|-=0 влечет ? = 0, и представим в виде произведения арр и двух определителей р-го порядка в противном случае.
428

ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

ГЛ. III, § 7

13) Пусть Д = det (c*ij) — определитель re-го порядка и Ді; — минор (п—1)-го порядка, дополнительный к а{)-. Показать, что

aIl а12 • • «In X
Ct2I Cl2a . • а2 Tl X
Предыдущая << 1 .. 159 160 161 162 163 164 < 165 > 166 167 168 169 170 171 .. 201 >> Следующая
Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed