Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
и обозначается del X или ' X! .
В том (наиболее часто встречающемся) случае, когда 1 есть интервал [1,/г] CN1 так что X = (|і;)і^і^п, I^iscn1 определитель матрицы X обозначают также det (^ij)і ^i^n, і$j5=n (или просто
det(j;i(), если это не грозит никакой путаницей), или наконец.
5l2 • ¦ • &Ы
Sai ^22 • ¦ • &2 п
или,
Snl * * * Snii
Если (е4)15{<:п — канонический базис модуля An, эндоморфизм и, матрицей которого служит X, — это эндоморфизм, для
Jl
которого и (е{) есть столбец = 2 матрицы X (гл. II,
3=1
§ 6, п°3); таким образом, согласно (1), определитель матрицы X определяется соотношением
X1 А ... A Xn = (det Х)-е1 а • • ¦ А еп, (3)
так что можно написать (см. гл. II, § 1, п° 6)
det X =
хх А ... А хп «і А ... А еп
Матрицу X, у которой det X = I, называют унимодулярной. Пусть Е — Л-модуль, имеющий базис (aj, состоящий из п эле-
П
ментов. Определителем п векторов Xj = ^ aSi, (1
п) этого
і—1
модуля относительно базиса (а4) называют определитель матрицы (Sij)> /'й столбец которой образован компонентами Xj относительно базиса (а4); этот определитель обозначают иногда [X1, х2, . . ., хп\ (если никакая неясность по поводу базиса невозможна).
Таким образом, имеем
414
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. Ill, I S
Примеры. Определитель квадратной матрицы первого порядка равен ее единственному элементу. Для матрицы второго порядка
( 0Il «12 Л Van а22 /
имеем в предыдущих обозначениях
X1 A ^2 = (йіап + е2а2і) A (^a12-(-C2Ci,,) = апа2,^, Д f2-f в21аг/; Д р1у откуда
СХц Ctjo
=O1Iaoo- a.nao,.
«21 K22 1 -
Замечание. Рассматривая определитель матрицы X = (^;), часто позволяют себе, допуская вольность речи, говорить об «элементах определителя», «строках определителя», «столбцах определителя»,, понимая под этим элементы, строки и столбцы матрицы X.
Если X и У — квадратные матрицы над А с одинаковым множеством индексов /, то их произведение XY соответствует композиции эндоморфизмов модуля A1, соответствующих матрицам YnX (гл. II, § 6, п° 4); поэтому, согласно теореме 1, имеем:
Предложение 1. Определитель произведения XY квадратных матриц XuY (имеющих одно и то же множество индексов). равен произведению определителей этих матриц.
Другими словами, если рассматривать в Л и множестве Mn(A) • всех квадратных матриц п-то порядка над А лишь алгебраические структуры, определяемые одними мультипликативными законами этих двух колец, можно сказать, что X—>detX есть представление Mn(A) в А.
Следствие 1. Если XuY — квадратные матрицы одинакового • порядка, то dot (ХУ) = det (УХ).
Отметим аналогию между этим следствием и предложением 2 § 4, относящимся к следу произведения двух матриц. Однако эта аналогия не полна: действительно, если X — матрица из т строк • и п столбцов, У — матрица из п строк и т столбцов и п<С_т, то, как можно показать, det (ХУ)== 0, тогда как вообще det. (УХ) ==r О ' (упражнение 6).
Сужение представления X —> det X на (мультипликативную) ¦ группу обратимых матриц п-го порядка над А (изоморфную ¦
2
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
415
линейной группе GLn (А)) является представлением этой группы в группу обратимых элементов кольца А. Отсюда:
Следствие 2. Если X — обратимая квадратная матрица над А, то ее определитель обратим в А, причем
det (X-1) = (det X)-1. (4)
Ниже мы увидим (теорема 2), что, и обратно, если det X обратим в Л, то матрица X обратима.
Отметим, что образом алгебры Mn(A) при отображении X -» det X является все кольцо А, ибо определитель диагональной матрицы
/а 0 ... О /О 1 ... О
\0 0 ... 1
равен a. Ha том же основании образ группы обратимых матриц при отображении X -* det X совпадает с группой всех обратимых элементов из А.
Предложение 2. Две подобные квадратные матрицы имеют одинаковые определители.
Если ZhZ' подобны, то существует обратимая матрица P такая, что X' =PXP'1; поэтому справедливость утверждения вытекает иэ предложения 1 и его следствия. Предложение 2 можно доказать также, заметив, что две подобные матрицы могут рассматриваться как матрицы одного и того же эндоморфизма модуля An относительно двух разных базисов.
Следствие. Определитель матрицы не изменится, если подвергнуть строки и столбцы этой матрицы одной и той же подстановке (гл. II, § 6, п° 11).
2. Вычисление определителя
Предложение 3. Определитель матрицы X п-го порядка является знакопеременной полилинейной формой относительно п столбцов Xi этой матрицы.
Это утверждение есть непосредственное следствие формулы (3) и того, что
(Х| , , Xn) ^ Xj А ... Д Xn
— знакопеременное полилинейное отображение (см. § 8).
416
ИОЛ И Л ИНЕЙ 11АЯ АЛ ГЕ Б1' Д
ГЛ. XII, § 6
В частности, определитель с двумя совпадающими столбцами равен нулю. Если произвести над столбцами определителя подстановку сг, он умножится на еа. Если к столбцу определителя прибавить скалярное кратное другого столбца, определитель не изменится.
Следствие. Каждая знакопеременная полилинейная форма относительно п векторов Xi из An может быть записана в виде (^i) • • • j хп) > Я ..., зп] А).
