Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
408 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 5
векторов дополняют первые т до базиса в ZJ2; образование соответствующего базиса алгебры Д F и дает требуемое соотношение.
Отсюда следует, что если F — канечномерное векторное пространство, то для любого элемента z алгебры Д F существует наименьшее векторное подпространство E пространства F такое, что z принадлежит /\Е; размерность этого подпространства ZJ называется рангом элемента z алгебры Д F.
Упражнения. 1) Показать, что определение az, данное
р
в л0 1 для тензора z ?&)Е и подстановки (TgS1,, совпадает с определением, получающимся общим методом распространения группы под-
P
становок (гл. I, § 7, п° 3), отправляясь от определения (х)? (§ 1, п° 2) как фактормножества множества А1е!'\ где последнее само является
. fV
частью А .
*2) Пусть EaF — заданные аддитивные группы и п —целое >1. Будем обозначать через Srn (Е, F) аддитивную группу, образованную
En
всеми отображениями En в F (т. е. группу F ).
Для каждого u?dFn(E, F) будем обозначать через ди отображение Еп+1 в F, определяемое формулой
ди (#1, . . ., Xni xn+l) U (х%, * * *, Xni З'п+і) “f"
Tl
4“ (~ u (х1< ’ xh-li xh~Txh*li xk + 2’хп + і)~Г
k=\
+ ( — l)nn U (X1...Xn).
а) Показать, что, каково бы ни было и ? (Е, F),
д (ди) = 0.
б) Для каждого и >- 2) будем обозначать через
Su отображение Еп~1 в ;If-1(E, F), относящее каждому элементу (»ь ..., хп_х) ? En'1 отображение
Tl'— 1
Хп 2 ( 1)^ М (*1> Xn-k-l’ ХП> xU-Jf xn-l)
/?=0
EbF. Доказать, что
S (ди)=д (Su).
в) Вывести из б), что если и ? Jrn (E1 F) удовлетворяет условию ди=0, то результат его антисимметрирования аи является полилинейным отображением En в F; если v ? .Fn (E, F) таково, что v = du для некоторого и ? SFп-\ (Е, F), то антисимметрирование v дает 0.
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
409
3) Пусть Af- Л-модуль, связанный с симметрической группой S;(t и H — произвольное подмножество интервала [1, р]. Результатом антисимметрирования элемента z ? M по индексам і ? H называется элемент
(i,j- — B^crz,
а
где а пробегает подгруппу в Sp (изоморфную ©у), образованную теми подстановками, которые оставляют инвариантным каждый индекс, не принадлежащий Н.
а) a (CLiiZ)=-Auz, где г — число элементов множества Н.
б) Пусть E — унитарный Л-модуль, z — контравариантный тензор p-то порядка над E Hz' — контравариантный тензор q-го порядка.
q р
Показать, что если az'=0 в (соответственно az= 0 в (^) Е), то
«¦(zz')=0b &)Е. [Заметить, что если # = [р+1, р+д], то ан (zz') = =z-az’.] Вывести отсюда, что если Z=CbZ1 и z'=«zj—тензоры, получающиеся в результате антисимметрирования тензоров Z1 и Z1 порядков и q, то тензор U(Z1Zi) порядка р~гд зависит лишь от z и z', но не от тензоров Z1 и z{, антисимметрированием которых гиг' получены. Если z (соответственно z') — канонический образ (п° 6) /«-вектора и (соответственно g-вектора и'), то a(ziz[) есть канонический образ (/>+ ^-вектора и А и'.
4) Пусть E — унитарный Л-модуль, обладающий системой п образующих. Показать, что каждое знакопеременное полилинейное отображение модуля En в произвольный Л-модуль F есть результат антисимметрирования некоторого полилинейного отображения.
*°5) Пусть К—поле характеристики 2 и Л—кольцо К[Х, У, Z\ полиномов от трех неизвестных X, У, Z над К\ пусть, далее, E — фактормодуль A3IM модуля A3 по его подмодулю Af, порожденному элементом (X, У, Z); пусть, наконец, F — фактормодуль модуля Л по идеалу (Х2)+(У2)+(22). Показать, что существует знакопеременное билинейное отображение E2 в F, не получающееся путем антисимметрирования никакого билинейного отображения E2 в F.
Показать также, что в E 0 F подмодуль N1 тензоров, антисимметрирование которых дает 0, совпадает с подмодулем N, на котором аннулируются все знакопеременные линейные функции. [Рассматривая E 0 E как фактормодуль модуля Л3 0 Л3 (§ 1, п° 3, предложение 6), показать, что тензоры, дающие при антисимметрировании 0, являются каноническими образами симметрических тензоров из A3 0 Л3.]„
*°6) В обозначениях упражнения 5, пусть В — факторкольцо кольца Л по идеалу a = (X2)-^r(Y2)-\-(Z2) и G — фактормодуль B2IP модуля B2 по его подмодулю P, порожденному элементом, имеющим своими координатами соответственно классы X, У, Z (mod а). Показать, чть в G 0 G подмодуль /VJ тензоров, дающих при антисимметри-
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 5
ровании 0, отличен от подмодуля N', на котором аннулируются все знакопеременные линейные функции. [Тем же методом, что и в упражнении 5.]0
7) Пусть Л-мод уль E есть прямая сумма своих подмодулей E1, E2.
P я
Показать, что модуль Д E изоморфен прямой сумме G модулей (Д E1) @
P—я
® (Д E2), где q пробегает все целые значения от 0 до р. [Опираясь
р
на схолию из п° 5, определить линейные отображения Д E в G и G P
в Д Е, которые были бы взаимно обратны.]
Обобщить на случай модуля Е, заданного в виде прямой суммы произвольного конечного числа его подмодулей.
8) Пусть E—Л-модуль и M — его подмодуль. Показать, что
