Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 3 позволяет перевести некоторые свойства подпространств пространства E в свойства разложимых р-векторов, определяющих эти подпространства. Tai;, например, имеем следующие предложения:
Предложение 4. Пусть VuW — векторные подпространстса пространства E, имеющие соответственно размерности р и q; предположим, что р<СЯ, и пусть v — разложимый р-вектор, определяющий V, и w — разложимый q-вектор, определяющий W. Для того чтобы VdW, необходимо и достаточно, чтобы существовал (q — р)-вектор и такой, что W = U Д у.
Это предложение есть непосредственное следствие предложения 3, примененного к разложимому gr-вектору w и р векторам, образующим базис подпространства F.
Предложение 5. Пусть VuW — векторные подпространства пространства Е, имеющие соответственно размерности р и q, V— разложимый р-вектор, определяющий V, и w — разложимый q-вектор, определяющий W; для того чтобы Vf]W—{0}, необходимо и достаточно, чтобы v А разложимый (р + q)-eeKmop
V Д w определяет тогда подпространство V -f W.
Действительно, если FnVFiiMeeT размерность г>0, то существует разложимый r-вектор z, определяющий FPi W, такой, что
V будет произведением ~ II некоторого (р — г)-вектора, W — произведением " и некоторого (q— г)-вектора; по тогда г;Д«? = 0. Если, напротив, V[~}V/={0}, то сумма VjrW прямая; поэтому, если (xi) 1???? —базис подпространства V, a (?/j)i<5/<4— базис подпространства W, то р-\- q векторов Xi и у • образуют базис
28 II. EypGaim
434
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ГЛ. HI, J 7
подпространства V -Ь W, и их внешнез произведение есть ненулевой разложимый (р+ д,)-вектор, определяющий V W; но (следствие 2 предложения 3) оно лишь ненулевым скалярным множителем отличается от v/\w.
Пусть E — (л-!-1)-мерное векторное пространство над полем К;
T 1-1
в векторном пространстве Д ?' (0 <. р и.) размерности /і =
торов насыщено по отношению A(F): «существует X-^Отакое, что V=Xuo между и и V (гл. II, Приложение III, п° 1). Его канонический образ Gprl(E) в проективном пространстве P(F) размерности h— 1 называется (/>+1)-м ерассманианом пространства E (или проективного пространства P(S))- Согласно предыдущему, существует каноническая биекция Gpti(E) на множество всех (/>+1)-мерных векторных подпространств пространства E (или на множество всех /«-мерных проективных линейных многообразий пространства P(E)). В случае, когда E = ICnil, вместо Gptl(E) пишут G1ll р (К).
Упражнения. 1) Пусть X — матрица над полем. Для того чтобы она была матрицей ранга р, достаточно, чтобы она содержала такой ненулевой минор p-то порядка, что все содержащие его миноры (Pjr 1 )-го порядка равны нулю. [Показать, что каждый столбец матрицы X будет линейной комбинацией тех р столбцов, которым принадлежат элементы указанного минора.]
*2) Пусть E — модуль над коммутативным кольцом С, имеющий конечный базис, состоящий из п элементов.
а) Для того чтобы р элементов X1 (1 і р) модуля E образовывали зависимую систему, необходимо и достаточно, ^'обы [Ix1 ft ... ... Дггр = 0 для некоторого скаляра цф0. [Для установления достаточности условия рассмотреть матрицу А из п строк и р столбцов, образованную компонентами элементов х;; свести к случаю, когда произведение некоторого минора (р — 1)-го порядка матрицы А па ц не равно нулю; далее, записать, что произведение на ц каждого пз миноров р-го порядка, содержащих этот минор (р — 1)-го порядка, равно нулю, и воспользоваться формулой (12) § 6.]
В частности, если р > п, элементы Xj. всегда образуют зависимую систему.
б) Показать, что если (Xi) — свободная система р элементов модуля Е, то при q «С р g-векторы х^, где H пробегает множество всех подмножеств интервала [I. Pl состоящих из q элементов, образуют
)
множество Dpti (E) всех ненулевых разложимых (р+1)-век-
а
свободную систему в Д Е. [Использовать а).]
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ НАД ПОЛЕМ; РАЗЛОЖИМЫЕ />-ВЕКТОРЫ
43а
в) Вывести из а), что если столбцы квадратной матрицы п-го порядка над С линейно независимы, то также строки этой матрицы линейно независимы. [Cm. гл. II, § 0, упражнение 3.]
3) Пусть E и F — С-модули, обладающие копечными базисами, состоящими соответственно из т и п элементов. Для того чтобы линейное отображение и модуля E в F было изоморфизмом EeF, необходимо и достаточно, чтобы то -< п и для матрицы X этого отображенвя относительно произвольных базисов в E u F не существовало бы скаляра U-/-0, произведения которого на все ее миноры m-го порядка равнялись нулю. [Использовать упражнение 2.] При выполнении этих усло-
V l> P
вий, Д к для каждого р < т есть изоморфизм Д -E в Д F.
4) Пусть
Ti
2 ai/?; = Pi (1 ^ т)
J--I
-система т уравнений с п неизвестными на коммутативном кольце С. Пусть, далее, Xj (I <. / -? п) — столбцы матрицы /I = (Oij) этой системы и 2/ = (Pt)- предположим, что в А все миноры порядка >р равны нулю, ио X1 Д . Д хрФ 0. Для того чтобы система имела решение, необходимо, чтобы X1 /\ ,.. А хр А у = 0.
Обратно, если это условие выполнено, то в С существуют и+ 1 элементов I,- (1 .'4 / n-f 1) таких, что §г,+і=^0 и
