Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
P Ч Р+<]
кие (Д?)х(Д?) в /\Е; это и есть наше внешнее произведение.
3) Заметим, что в случае, когда E обладает базисом и р-векторы, где 0 р п, канонически отождествляются (предложение 6) с ан-тисимметрированными тензорами р-го порядка, внешнее произведение /ивектора и (/-вектора отнюдь не отождествляется с произведением (в указанном в п° 3 § 4 смысле) тензоров, с которыми соответственно отождествлены эти jo-вектор и (J-вектор (см. упражнение 3).
Билинейность отображения (и, v) —>и Д v находит свое выражение в формулах
(Ii1-jTii2) A(V1-^v2) = U1Avl -'VUlAv2-jTii2Av1+ U2Avi, (10) (аи) А V = и А (ау) = а (и A v) (а^Л). (И)
Кроме того, для /7-вектора и и g-вектора v имеем
уДм = ( — \)pquAv. (12)
Действительно, пусть а — подстановка множества [I1P+?] такая, что о (?) = q+i, когда I < i< р, и a (i) = i — р, когда/7 + 1 < i< р + q. Имеем е0= (— 1)р?, ибо для пар (i, j), в которых і </, разность
о (j) — a(i) может быть < 0 лишь если 1 < і < р и р + 1 < /< Р+Я-Отсюда и из формул (6) и (9) следует формула (12), когда и пи разложимы, а соотношение (10) позволяет тогда распространить эту формулу на случай произвольных и и v.
Наконец, для любых /7-вектора и, 5-вектора v и r-вектора w имеем
(и Av) Aw = U A(VAw)- (13)
Действительно, в силу (9) эта формула очевидна, когда и, v и w разложимы, а по линейности она распространяется на общий случай. Общее значение обеих частей равенства (13) обозначается также и А и A Wr-
406
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
гл. їй, § 5
І). Ппешпяя алгебра
Обозначим через /\Е, где E — заданный Л-модуль, прямую
П
сумму ненулевых модулей Д E для всех п>О (гл. II, § 1,п°7). Определение внешнего произведения позволяет ввести в Д E структуру алгебры относительно А. В самом деле, каждый эле-
CO
мент z?/\E однозначно представим в виде 2= 2 2р> гДе zp~
P=O
/ьвектор (равный нулю для всех кроме конечного числа инде-
OO OO
KCOB р). Для любых двух элементов Z = ^ 2р И 2' = 2 4 из AE
P=O P=O
положим 2Az' = 2(zpAz'q)- В силу (10), определенное так на
Р, Q
A E умножение двояко дистрибутивно относительно сложения; в силу соотношения (13), распространяющегося по дистрибутивности на любые элементы из Д?, это умножение ассоциативно; наконец, согласно (И), имеем а (zAz') = (az) Az' = zA(az') для любого скаляра а. Таким образом, Ді? действительно является алгеброй над А; она называется внешней алгеброй модуля Е. Эта алгебра имеет своим единичным элементом единицу 1 кольца А и, в силу (12), вообще не коммутативна. В силу ассоциативности умножения, разложимый р-вектор X1A- -Axp есть не что иное, как композиция (относительно умножения на Д Е) серии элементов из Е, что оправдывает одинаковость обозначений внешнего произведения и разложимого /ьвектора и показывает в то же время, что множество А\_}Е является системой образующих алгебры Д Е.
В случае, когда E обладает конечным базисом (ej)i$i^n> AE обладает базисом, образованным 2П элементами ен (п° 6), где Я пробегает множество всех подмножеств интервала [I, n]CZN. Таблица умножения этого базиса задается следующими соотношениями:
енAe# = 0 при Н[\К =? 0, 1
енДек = Єн,кений при Hf]K=0, j
гДе Qh,k = (— 1)V> а V —число всех пар (г,/), в которых г ? Н,
}'?К и / < г.
9
ВНЕШНЯЯ АЛГЕБРА
407
Каждое линейное отображение и модуля E в произвольный унитарный Л-модуль F однозначно продолжается до представления внешней алгебры во внешнюю алгебру /\Р. Действительно, если и —такое продолжение, то и (1) = 1, откуда и (а) = = и(а-1)=аг/(1)=а для каждого скаляра а; с другой стороны, для любого разложимого р-вектора Z = X1 Д . . . Дхр мы должны иметь u(z)=u (X1) Д . . . Д и (хр) = ир (z), где ир означает р-ю внешнюю сте-
OO
пень и (п° 7). Наконец, для каждого элемента г= г из Е,
P=O
разложенного в сумму р-векторов, должно выполняться равен-
OO OO
ство и (z) = 2 uizv)— 2 uv (zp) (гДе ио означает тождественное
р—О P-Q
отображение А на себя). Обратно, непосредственная проверка показывает, что определенное так отображение и действительно является представлением Д E в Д F\ мы будем называть его каноническим продолжением и на Д E.
Если V — линейное отображение модуля F в Л-модуль Gkv — его продолжение до представления Д F в Д G, то продолжение композиции Voи до представления Д E в Д G совпадает с v°u. В частности, если и — автоморфизм модуля Е, то и есть автоморфизм алгебры Д Е.
Если E — подмодуль модуля F, а и — каноническое отображение E в F, то и есть представление Д E в Д^, также называемое каноническим; оно не всегда взаимно однозначно (см. упражнение 9). Однако в случае, когда F — конечномерное векторное пространство, и есть изоморфизм Д ? в Д^ (предложение 7), и алгебра Д E часто отождествляется посредством него с подалгеброй в /\F, являющейся ее образом при этом изоморфизме. Если такое отождествление произведено для каждого подпространства E пространства F, то для любых двух подпространств EljE2 будем иметь Д (.E11D Е2)=(/\ E1) R (Д E2). В самом деле, пусть CtimZJ1=W1, dimZ?2=w2, dim (Е1[)Е2)=т; для доказательства утверждаемого соотношения достаточно взять в F базис, первые т векторов которого образуют базис для E1^E2, дальнейшие U1—т дополняют его до базиса в E1, а следующие за ними п„—т
