Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 160

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 201 >> Следующая


р рр модуль Д (EjM) изоморфен фактормодулю (Д Е)/Т(М) модуля Д E ло его подмодулю Г(M), порожденному /і-векторами X1А ••• А хр, в которых по крайней мере одно Xi принадлежит М. [Метод упражнения 7.]

9) Пусть А — кольцо целостности с единицей и К — его поле отношений (гл. I, § 9, п° 4).

2

а) Внешняя степень Д А', где К рассматривается как Л-модуль, сводится к 0.

б) Показать, что если E — Л-модуль, содержащийся в К, то ника-

р

кая его внешняя степень Д E (р > 1) не содержит свободных элементов.

в) Показать, что если E — модуль, определенный в упражне-

2

нии 4 §2( то Д E не сводится к 0. Привести пример кольца целостности А и Л-модуля Е, содержащегося в его поле отношений К, таких, что

р

никакая внешняя степень Д E не сводится к 0.

10) Привести пример кольца А, обладающего следующим свой-

2

¦ством: в Л-модуле E = Л2 существует подмодуль F такой, что Д <р, где ф — каноническое отображение FbE, есть тождественный нуль,

2 2

тогда как ни Д Е, ни f\F не сводятся к 0. [Cm. упражнение 4 § 1.]

11) Пусть EuF — векторные пространства над одним и тем же полем и и — линейное отображение EbF, имеющее конечный ранг г.

р р Показать, что если р <; г, то ранг Д и равен ^ r ^ , а еслир > г, то Д и есть тождественный нуль. [Взять в E базис, г векторов которого обра-
141 EDlI [ЯЯ АЛГЕБРА

41 і

зуют базис подпространства, дополнительного к м(0), а остальные —

базис подпространства и (0).]

*12) Пусть E — ^4-модуль, обладающий базисом (Ci)1 состоящим из п элементов. Показать, что если п > 1 и р Ф п — р, то не сущест-

от структуры А -модуля в Е. [Такой изоморфизм должен был бы удовлетворять тождеству Cfcitp=Itjw,оф для каждого автоморфизма и модуля Е\ взять за и автоморфизм, определяемый условиями и(сг)—сг~ с-, и (efe) — е>, при к Ф і, и придавать і и /' всевозможные значения.]

13) Показать, что внешняя алгебра Д E модуля E изоморфна факторалгебре тензорной алгебры T (E) (§ 4, п° 6) этого модуля по ее двустороннему идеалу, а, порожденному элементами х ® х, где х пробегает Е.

14) Пусть E — векторное пространство над полем.

CO

а) Для того чтобы элемент 2 = V zp (zp? Д Е) внешней алгебры

Д E был обратимым, необходимо и достаточно, чтобы Z0 ф 0. [Доказать это сначала для случая конечномерного E п перейти далее к общему случаю, заметив, что для каждого элемента г g Д E в E существует конечномерное подпространство F такое, что z Є Д /’.]

б) Если размерность E бесконечна либо конечна и четна, то центр

внешней алгебры Д E образован теми ее элементами 2, у которых zp=О .для всех нечетных индексов р; если E имеет нечетную конечную размерность п, то центр алгебры Д E является суммой подпространства, образованного указанными элементами, и п-й внешней степени Е.

15) Пусть А — коммутативное кольцо с единицей и E — алгебра ¦над А, обладающая единичным элементом, который мы будем обозначать є. Пусть, далее, (^i)1^i<n—конечная последовательность элементов из E такая, что XiXj--—XjXi при і Ф j и ж| = 0 п),

т. L — внешняя алгебра модуля An. Если каждому элементу

из L, отнесенному к каноническому базису (е*) модуля Ari, поставить в соответствие элемент

из Е, то этим определится представление алгебры L в алгебру Е, и образом L при этом представлении будет служить подалгебра в Е, порожденная едипичным элементом к и элементами Xi (1 і -¦/; п).

р П'— р

вует изоморфизма ф модуля Д E на Д Е, который бы зависел лишь

і(х1,...,хп)=а0ефУаі і Xi ...Xi «*) I"’ P *

V
412 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 6

§ 6. Определители

В этом параграфе рассматриваются лишь коммутативные кольца с единицей и унитарные модули над такими кольцами, обладающие конечным базисом.

1. Определение определителей

Пусть и — эндоморфизм ^4-модуля Е, имеющего базис, состоя-

П

щип из п элементов; п-я внешняя степень Д и этого эндоморфизма

71

(§ 5, п° 7) есть эндоморфизм модуля ДА’; но этот последний модуль имеет базис, состоящий из единственного элемента (§ 5, п° 6), иными словами, изоморфен А (рассматриваемому

П

как /1-модуль), и следовательно, каждый эндоморфизм модуля Д E есть гомотетия z—^kz (гл. II, § 4, предложение 1).

Определение 1. Определителем эндоморфизма и модуля Е, имеющего базис, состоящий из п элементов, называют скаляр Kr

П

обозначаемый (letи, такой, что внешняя степень f\u совпадает

П

с гомотетией z —» Xz модуля Д Е.

П

Согласно определению Дм, каковы бы ни были п элементов X1^E,

a (?) А ... А м (хп) = (det и) ¦ А ... А ¦*¦«• (1)

Определитель тождественного эндоморфизма равен 1.

Теорема 1. Если и и v — эндоморфизмы модуля Е, то

det (и о и) = (det н) (det v). (2)

п п гг

Действительно (§ 5, формула (8)), Д (и о и) = (Д и) о (Д у).

Определение 2. Пусть X — квадратная матрица п-го порядка над коммутативным кольцом А с множеством I индексов

строк и столбцов. Определитель эндоморфизма A-модуля Ar,,
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

413

имеющего матрицу X относительно канонического базиса этого модуля (гл. II, § 6, и0 5), называется определителем матрицы X
Предыдущая << 1 .. 154 155 156 157 158 159 < 160 > 161 162 163 164 165 166 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed