Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
р рр модуль Д (EjM) изоморфен фактормодулю (Д Е)/Т(М) модуля Д E ло его подмодулю Г(M), порожденному /і-векторами X1А ••• А хр, в которых по крайней мере одно Xi принадлежит М. [Метод упражнения 7.]
9) Пусть А — кольцо целостности с единицей и К — его поле отношений (гл. I, § 9, п° 4).
2
а) Внешняя степень Д А', где К рассматривается как Л-модуль, сводится к 0.
б) Показать, что если E — Л-модуль, содержащийся в К, то ника-
р
кая его внешняя степень Д E (р > 1) не содержит свободных элементов.
в) Показать, что если E — модуль, определенный в упражне-
2
нии 4 §2( то Д E не сводится к 0. Привести пример кольца целостности А и Л-модуля Е, содержащегося в его поле отношений К, таких, что
р
никакая внешняя степень Д E не сводится к 0.
10) Привести пример кольца А, обладающего следующим свой-
2
¦ством: в Л-модуле E = Л2 существует подмодуль F такой, что Д <р, где ф — каноническое отображение FbE, есть тождественный нуль,
2 2
тогда как ни Д Е, ни f\F не сводятся к 0. [Cm. упражнение 4 § 1.]
11) Пусть EuF — векторные пространства над одним и тем же полем и и — линейное отображение EbF, имеющее конечный ранг г.
р р Показать, что если р <; г, то ранг Д и равен ^ r ^ , а еслир > г, то Д и есть тождественный нуль. [Взять в E базис, г векторов которого обра-
141 EDlI [ЯЯ АЛГЕБРА
41 і
зуют базис подпространства, дополнительного к м(0), а остальные —
базис подпространства и (0).]
*12) Пусть E — ^4-модуль, обладающий базисом (Ci)1 состоящим из п элементов. Показать, что если п > 1 и р Ф п — р, то не сущест-
от структуры А -модуля в Е. [Такой изоморфизм должен был бы удовлетворять тождеству Cfcitp=Itjw,оф для каждого автоморфизма и модуля Е\ взять за и автоморфизм, определяемый условиями и(сг)—сг~ с-, и (efe) — е>, при к Ф і, и придавать і и /' всевозможные значения.]
13) Показать, что внешняя алгебра Д E модуля E изоморфна факторалгебре тензорной алгебры T (E) (§ 4, п° 6) этого модуля по ее двустороннему идеалу, а, порожденному элементами х ® х, где х пробегает Е.
14) Пусть E — векторное пространство над полем.
CO
а) Для того чтобы элемент 2 = V zp (zp? Д Е) внешней алгебры
Д E был обратимым, необходимо и достаточно, чтобы Z0 ф 0. [Доказать это сначала для случая конечномерного E п перейти далее к общему случаю, заметив, что для каждого элемента г g Д E в E существует конечномерное подпространство F такое, что z Є Д /’.]
б) Если размерность E бесконечна либо конечна и четна, то центр
внешней алгебры Д E образован теми ее элементами 2, у которых zp=О .для всех нечетных индексов р; если E имеет нечетную конечную размерность п, то центр алгебры Д E является суммой подпространства, образованного указанными элементами, и п-й внешней степени Е.
15) Пусть А — коммутативное кольцо с единицей и E — алгебра ¦над А, обладающая единичным элементом, который мы будем обозначать є. Пусть, далее, (^i)1^i<n—конечная последовательность элементов из E такая, что XiXj--—XjXi при і Ф j и ж| = 0 п),
т. L — внешняя алгебра модуля An. Если каждому элементу
из L, отнесенному к каноническому базису (е*) модуля Ari, поставить в соответствие элемент
из Е, то этим определится представление алгебры L в алгебру Е, и образом L при этом представлении будет служить подалгебра в Е, порожденная едипичным элементом к и элементами Xi (1 і -¦/; п).
р П'— р
вует изоморфизма ф модуля Д E на Д Е, который бы зависел лишь
і(х1,...,хп)=а0ефУаі і Xi ...Xi «*) I"’ P *
V
412 ПОЛИЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ГЛ. III, § 6
§ 6. Определители
В этом параграфе рассматриваются лишь коммутативные кольца с единицей и унитарные модули над такими кольцами, обладающие конечным базисом.
1. Определение определителей
Пусть и — эндоморфизм ^4-модуля Е, имеющего базис, состоя-
П
щип из п элементов; п-я внешняя степень Д и этого эндоморфизма
71
(§ 5, п° 7) есть эндоморфизм модуля ДА’; но этот последний модуль имеет базис, состоящий из единственного элемента (§ 5, п° 6), иными словами, изоморфен А (рассматриваемому
П
как /1-модуль), и следовательно, каждый эндоморфизм модуля Д E есть гомотетия z—^kz (гл. II, § 4, предложение 1).
Определение 1. Определителем эндоморфизма и модуля Е, имеющего базис, состоящий из п элементов, называют скаляр Kr
П
обозначаемый (letи, такой, что внешняя степень f\u совпадает
П
с гомотетией z —» Xz модуля Д Е.
П
Согласно определению Дм, каковы бы ни были п элементов X1^E,
a (?) А ... А м (хп) = (det и) ¦ А ... А ¦*¦«• (1)
Определитель тождественного эндоморфизма равен 1.
Теорема 1. Если и и v — эндоморфизмы модуля Е, то
det (и о и) = (det н) (det v). (2)
п п гг
Действительно (§ 5, формула (8)), Д (и о и) = (Д и) о (Д у).
Определение 2. Пусть X — квадратная матрица п-го порядка над коммутативным кольцом А с множеством I индексов
строк и столбцов. Определитель эндоморфизма A-модуля Ar,,
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
413
имеющего матрицу X относительно канонического базиса этого модуля (гл. II, § 6, и0 5), называется определителем матрицы X