Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
В некотором смысле, эта общая аналогия является алгебраическим выражением концепции Герца [4], который считал, что все потенциальные силы в механике можно объяснить «скрытыми» циклическими движениями.
Замечание 4. Гамильтоновость уравнений Кирхгофа на (ко)алгебре е(3) была явно указана в [129], хотя понимание этого факта было достигнуто физиками существенно раньше (Г. Биркгоф [12]). Их гамильтоновость была естественной для Пуанкаре, который во вполне современных понятиях обсуждал ее в родственной проблеме [308].
Случаи интегрируемости уравнений Кирхгофа приведены в таблице 2. Для всех случаев интегрируемости выполнено условие В = = diag(bi, Ъ2, Ь3), С = <liag(ci, с2, «з)-
Вид функций fi, дополнительные первые интегралы и анализ случаев интегрируемости читатель может найти, например, в [18].
Случаи Клебша I и III, а также случаи Ляпунова и Стеклова являются взаимными, т. с. дополнительные интегралы одной из проблем могут быть приняты за функции Гамильтона для второй. Эти взаимные случаи могут быть включены в единое семейство (для случаев Ляпунова и Стеклова такое включение было указано Колосовым). § 1. Классические формы уравнений динамики твердого тела 97
Таблица 2.
Случай интегрируемости Условия на параметры Степень интеграла Дополнительное условие
Кирхгоф 01 = <12, Ъ1 = Ъ2, Cl = С2 1 -
Клсбш I B = O, C = /i(A) 2 -
Клебш II В = 0, ei = cl2, Cl = С2 1 -
Клсбш III В = 0, А = E 2 -
Стеклов B = J2(A), C = J3(A) 2 -
Ляпунов А = Е, В = J4(A) 2 -
Чаплыгин ai = а2 = В = 0, C3 = 0, сі = C2 4 с=0
В общем случае уравнения Кирхгофа также являются неинтегри-руемыми. Необходимые условия существования квадратичных интегралов были изучены В. А. Стекловым, обсуждение вопросов несуществования аналитических, однозначных, алгебраических интегралов содержится в работе [7, 25].
Замечание 5. В работе [129] выполнена также гамильтонова редукция системы Кирхгофа на функции Казимира Fi — (М, 7), F2 — (7,7) и введена одна из возможных систем «почти» канонических переменных (при этом в скобку Пуассона внесены члены, отвечающие магнитному полю «монополя Дирака»). Эта система, естественно, совпадает с переменными Эйлера {рв,р^,в,ір) после исключения циклической координаты ф. Однако, во многих случаях, более удобной системой канонических координат на симплектических слоях пуассоповой структуры алгебры е(3) являются переменные Апдуайе—Депри (см. напр. [5]). Избыточные канонические переменные q, р на особом листе (М, 7) = 0, (7,7) = 1 указаны в работе [78], при этом M = q х р, 7 = q.
Замечание 6. Неавтономная система на алгебре so(3) была рассмотрена Ж. Лиувиллем [280] в связи с исследованием одной задачи из небесной механики (движение твердого тела с изменяющимися во времени моментами инерции). В работе [24] исследована интегрируемость этих уравнений при периодической зависимости от времени, в [31] рассматриваются вопросы возникновения адиабатического хаоса при медленном периодическом изменении параметров (в [93] приведена «вихревая» интерпретация этих уравнений). Неавтономные уравнения динамики твердого тела на алгебре е(3) изучались в [86] в связи с задачей Чаплыгина о падении тяжелого твердого тела в безграничном объеме идеальной безвихревой несжимаемой жидкости.
Приведем еще одну классическую задачу, имеющую различные взаимосвязи с только что рассмотренной. 98
Глава 2
4. Уравнения Пуанкаре—Ламба—Жуковского. Под этими уравнениями понимается система, описывающая движение вокруг неподвижной точки твердого тела, имеющего эллипсоидальную полость, полностью заполненную однородной вихревой идеальной несжимаемой жидкостью [28, 110, 121]. Эта система является гамильтоновой со скобкой Пуассона, определяемой полупростой алгеброй so(4) и квадратичным гамильтонианом (1.8). В случае его положительной определенности эти уравнения могут рассматриваться как уравнения геодезических на группе so(4), или как уравнения Эйлера для свободного движения четырехмерного твердого тела. С этой точки зрения задача рассматривалась в прошлом веке В.Фрамом (1875 г.) и Ф. Шоттки (1891 г.) [18].
В зависимости от динамического происхождения рассматриваемых уравнений удобнее пользоваться различными системами переменных (М, 7) или (К, S), связанных между собой соотношения-K + S K S
ми M = —?—5 7 = —2— и соответствУюЩие возможности разложения алгебры so(4) в прямую сумму so(3) ® so(3). Скобки Пуассона и соответствующие формы уравнений движения для этих систем переменных имеют вид
[Ki, Kj} — -EijkKk, [Ki, Sj]- 0, {Si, Sj} —-EijilSi,,
[Mi,Mj) = -EijkMk, [Mi,Jj) = -EijkJk, {7,:,7,} = -Eijk 7?,
Векторы К, S для уравнений Пуанкаре—Ламба—Жуковского имеют смысл кинетического момента системы тело + жидкость и вектора однородной завихренности соответственно. Эволюция последнего определяется уравнениями Гельмгольца [110].
Пуассоновы структуры (1.9) имеют соответственно по две центральные функции
и для интегрируемости соответствующих уравнений недостает еще одного первого интеграла.
(1.9)
F1 = (K5K)
і = (К, Kj = сі,
