Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Описанная общая конструкция для вырожденной матрицы |Д?|| была также известна Дираку [227]. Игнорируя традиционный математический формализм (например, не используя теорему Фробениу-са), on доказал интегрируемость полей Xfi і = 1,...,/ па N*. Функции /,;(х), і = 1,...,1, Дирак называл величинами первого рода, a ft (х) і = I + 1,... ,1 + 2к величинами второго рода, придавая им различный физический смысл.
Замечание 3. Приведенная схема редукции может быть использована в теории некоммутативного интегрирования. Предположим, что гамильтонова система на симплектическом многообразии (M2", а;) допускает инвариантное подмногообразие, задаваемое п + к функциями Nc = {ж|/»(ж) = с,, і = 1, ... , п + к} {fi (ж), -ff} j = 0, такими, что rank \\{fi, fj}\\ = 2 к. Разбивая функции на два соответствующих класса и ограничивая по Дираку систему на 2п — 2/г-мерпое симплектическое многобразис N*, получим га-мильтонову систему, обладающую п — к инволютивными первыми интегралами. Она уже является интегрируемой по Лиувиллю в обычном смысле, а траектории являются квазипериодическими обмотками п — fc-мерных торов.
Замечание 4. В общем случае для гамильтоновой системы па Mn, обладающей инволютивным набором интегралов
{fi{x),H} = 0, і = 1. ...,«. § 9. Скобка и редукция Дирака
81
ограничение поля Хн на поверхность уровня этих интегралов Nc определяет векторное поле, не являющееся гамильтоновым по отношению какой-либо пуассоновой структуры па Nc (в частности, относительно структуры Дирака). Примером может служить невырожденная вполне интегрируемая гамильто-нова система в шестимерном фазовом пространстве. Ее поток на трехмерном инвариантном многообразии не является гамильтоновым относительно любой пуассоновой структуры на нем.
3. Трансверсальная структура и сингулярные орбиты. Согласно обобщению теоремы Дарбу [334] пуассоново многообразие вблизи любой точки Xo ? M допускает разложение MmSxN — на сим-плектический лист S и трансверсальное к нему дополнение N, которое задается как многообразие уровня функций /»(х) = Cj с невырожденной матрицей \\{fi,fj}\\. Оба многообразия S и N пуассоновы; на S пуассонова (симплектическая) структура получается обычным ограничением исходной скобки, а на N — может быть получена по формуле Дирака (9.3). Говорят, что на N определена трансверсальная пуассонова структура [2, 334].
Вблизи регулярной точки Xq Є M через Xo проходит симплекти-ческий лист S максимальной размерности, а скобка Пуассона на N тождественно равна нулю. Нетривиальная пуассонова структура на N возникает вблизи сингулярной точки Xo Є М, через которую проходит симплектический лист меньшей размерности. В этом случае точка хо является также особой точкой пуассоновой структуры на N. где ее ранг падает до нуля.
Трансверсальная пуассонова структура использована в работе [297] для изучения согласованной скобки в цепочках Тоды на полупростых алгебрах Bn. Возникающая в этом случае скобка, полученная из квадратичной, оказалась дробно-рациональной.
Вопрос о возможности приведения трансверсальной пуассоновой структуры к наиболее простому виду вблизи особой точки (в частности линеаризация) рассматривался в работах [335, 224]. В [335] приведены примеры пелипеаризуемых пуассоновых структур вблизи сингулярных орбит алгебры Ли. В [297] указаны условия на алгебру Ли и ее сингулярные орбиты, при которы трансверсальная пуассонова структура может быть приведена к неоднородному квадратичному виду.
4. Вырожденные лагранжианы и гамильтонов формализм со связями. Введение рассмотренных дифференциально-геометричес-ких конструкций в динамику может быть мотивировано проблемой пе- 82
Глава 2
рехода от лагранжева формализма к гамильтонову в случае вырожденности лагранжиана по скоростям. Именно, из этой постановки исходил П. Дирак, развивая обобщенную гамильтонову механику для целей последующего квантования [57, 319].
Пусть задана лагранжева система
с вырожденной по скоростям функцией Лагранжа, т. е.
O2L
det,
OqiDqj
= 0. (9.8)
В этом случае уравнения (9.7) не могут быть разрешены относительно старших производных, а стало быть, вопрос о нахождении решений при произвольных начальных условиях не является вполне корректным. Оказывается, что более естественным является рассмотрение системы (9.7) в канонических переменных. Рецепт их введения, обобщающий преобразование Лежандра в невырожденном случае, также был предложен Дираком.
Если обычным образом ввести канонические импульсы
Pi = щ, г = 1,... ,п, (9.9)
то вследствие (9.8) при обращении (9.9) можно выразить лишь часть скоростей
<ii=Vi(p,q,pi,... ,q8), і = s + 1,... ,п. (9.10)
Оставшиеся уравнения задают соотношения между р, q, определяющие подмногообразие
7V = {p,q:^(p, q)=0, j = 1,...,5,} (9.11)
(первичные связи по Дираку). Функция Гамильтона
H = pq-L
(9.12) § 9. Скобка и редукция Дирака
83
при учете (9.10) и (9.11) зависит только от координат и импульсов [319]. С учетом того, что вариации Sp и Sq подчиняются условию (9.11) и пользуясь вариационным принципом Гамильтона, уравнения движения можно представить в виде
