Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения (1.2) были изучены на интегрируемость при разных видах потенциала V. Так как симплектический лист является шестимер-ным, то для интегрируемости по Лиувиллю недостает еще двух инво-лютивных интегралов. Для линейного по а, /3,7 потенциала эти уравнения будут подробно обсуждаться в §§ 3,4, в которых, в частности, приведена классификация интегрируемых случаев. Для квадратичного потенциала V интегрируемые задачи были указаны еще Вруном и более подробно изучены О.И.Богоявленским (§ 10). В этом параграфе мы остановимся па более простом случае, когда гамильтониан H обладает осевой симметрией в абсолютном пространстве, а стало быть, может быть представлен как функция лишь части напрявляющих косинусов, например, 7 = (71,72,73)- В такой форме могут быть представлены 94
Глава 2
уравнения движения классических проблем динамики твердого тела — уравнения Эйлера Пуассона. Кирхгофа, Бруна Тиссерана [5, 28].
Уравнения движения при наличии осевой симметрии представляют всего лишь часть уравнений (1.2), так как скобка Пуассона (1.3) обладает замкнутой подалгеброй (М, 7), хотя они и могут быть получены из общих соображений редукции, изложенных в §8 гл. 1. Эти уравнения и соответствующая им пуассонова структура, определяющаяся алгеброй е(3) = so(3) ®g К3, имеют вид
являющимися функциями Казимира пуассоновой структуры. Первый из них — линейный по моменту M — представляет собой интеграл площадей и связан с существованием циклической переменной -ф. Второй является геометрическим и выражает постоянство величины орта 7, определяющего ось симметрии силового поля в абсолютном пространстве (с2 = 1). Для интегрируемости системы (1.5) недостает еще одного дополнительного интеграла.
Рассмотрим две классические задачи, допускающие запись в форме (1.5). Первая из них — задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, описываемая уравнениями Эйлера— Пуассона, вторая — задача об инерционном движении односвязного твердого тела в жидкости, описываемая уравнениями Кирхгофа.
2. Уравнения Эйлера—Пуассона. В этом случае гамильтониан Я имеет вид
(1.5)
[MuMj] = -6ijkMk, [Mulj) = -Eijklk, {7;,7?} = <>• Уравнения (1.5) всегда обладают двумя первыми интегралами
fi = (Mj7) = Ci, F2 = (7,7) =с2,
(1.6)
Я =І(АМ,М)-Р(Г,7),
(1.7)
где А = diag(ai, а2, аз) матрица, обратная тензору инерции, P вес тела, г — радиус-вектор центра масс в связанной с телом системе § 1. Классические формы уравнений динамики твердого тела
95
координат. Все известные общие и частные случаи интегрируемости уравнений (1.5) были найдены в прошлом и в начале нынешнего века. Они приведены в таблице 1 (под степенью дополнительного интеграла понимается его степень по моментам М, или. что тоже самое, степень квазиоднородности).
Таблица 1.
Случай интегрируемости Условия на параметры Степень интеграла Дополнительное условие
Эйлера Пуансо ^1-^2-^3-0 2
Лагранжа ах = U2 = а, аз = 6, гі = г2 = 0 1 -
Ковалевской ai = а2 = а, аз = 2а, гз = 0 4 -
Горячева—Чаплыгина аі = а2 = а, аз = 4а, гз = 0 3 cl = 0
Более подробный анализ случаев интегрируемости, сами дополнительные интегралы, а также различные системы инвариантных соотношений для системы (1.5),(1.6) можно найти в книгах [5, 28, 51, 77].
В общем случае уравнения Эйлера—Пуассона не являются интегрируемыми и демонстрируют хаотическое поведение [28].
3. Уравнения Кирхгофа. Эти уравнения также могут быть записаны в виде (1.5). Такое представление для них было указано А. Клебшем [223]. Он получил его при помощи преобразования Лежанд-ра (w, v) —> (М, 7) из лагранжевой формы уравнений
d dL dL , OL
— — = — xwh--x v.
dt дш дш Ov
d^dL = дь
dt dv dv X
полученной ранее Кирхгофом [74].
Функция Гамильтона уравнений Кирхгофа H имеет вид
H = і (AM, М)+ (BM, 7) +І (C7,7) (1.8)
и представляет собой кинетическую энергию системы «тело+жидкость». Матрицы А, В, С без ограничения общности можно считать симметричными, а матрицу А — диагональной. Они определяют присоединенные массы и моменты инерции, обусловленные взаимодействием 96
Глава 2
тела с жидкостью [12, 110]. Компоненты Mi и 7j, называемые в гидродинамики векторами импульсивного момента и импульсивной силы соответственно, получаются при помощи преобразования Лежанд-
тх/г dL дЬ
pa M = 7^--7 = ТГ~ ИЗ групповых переменных Ші-Vi, являющихся ош' Ov
компонентами в базисе левоинвариантных векторных полей, соответствующих «единичным» вращениям и трансляциям вокруг осей, фиксированных в поле. При отсутствии жидкости В = 0, С = тЕ. где т — масса тела. В этом случае первая часть уравнений (1.5) отделяется и представляют собой уравнения Эйлера на so(3), а вторая часть выражает закон сохранения суммарного импульса в неподвижной системе координат (теорема Бернулли о независимости движения центра масс и вокруг центра масс).
Замечание 3. Указанная различная интерпретация векторов М, у в уравнениях Кирхгофа и при движении вокруг неподвижной точки в осесимметрич-пом поле, позволяет указать аналогии между решениями этих задач. Первая такая аналогия была указана В. А. Стекловым в [320] (интеграл Клебша— Бруна Тиссерана). Be обобщение на случай движения твердого тела вокруг неподвижной точки в обобщенно-потенциальном поле, квадратичном по М,7 (например, заряженное твердое тело в однородном магнитном поле) обсуждается, например, в [7].
