Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим, в некотором смысле, противоположную ситуацию, когда для функций /j, определяющих подмногообразие Nc, матрица WfijW = \\{fiJj}\\ невырождена
(9.1)
det WfijW ф 0.
(9.2) 78
Глава 2
Если многообразие M является симплектическим, то условие (9.2), выполненное на всем Nc, является необходимым и достаточным условием его симплектичпости. Замкнутая форма, задающая па нем симплек-тическую структуру, получается из исходной ш (заданной на всем M при помощи обычной операции ограничения иі\ [2, 152]. Приведен-
I IVc
ная далее процедура может рассматриваться как обобщение операции ограничения симплектической формы. При этом функции fi, задающие подмногообразия, в смысле условия (9.2) максимально некоммутируют.
В этом случае произвольное гамильтоново векторное поле на M допускает единственную проекцию на касательное пространство к подмногообразию Nc. Возникающее при этом векторное поле также является гамильтоповым относительно повой пуассоновой структуры — Xi = {Хг,Н}п, определяемой по формуле
{я, h}D = {g, ft} + /'!'•'•., {/'. /,}, (9.3)
ij
где WajW = !!{/»,/ЛІГ1-
Скобка (9.3) называется скобкой Дирака [57, 227] и может рассматриваться во всем фазовом пространстве M (в сильном смысле по Дираку), так как замечательным образом удовлетворяют на нем тождеству Якоби (а не только на Nc). Она корректно определена также при условии вырожденности первоначальной пуассоновой структуры па M. Функции fi(х) являются центральным для скобки (9.3). В вырожденном случае они пополняют уже существующий набор центральных функций. В структуре Дирака эти функции находятся в инволюции {fi,fj}D = 0.
Пусть L(f) линейная оболочка векторных полей Xf1 = {х,/,}, a HM — пространство гамильтоновых полей. Условие (9.2) означает, что все поля Xfi трансверсальны к касательному расслоению TNc и независимы. Таким образом, определено расслоение HM = TNс®L(J), позволяющее проектировать векторное поле Хн на TNc вдоль L(f). В симплектическом случае поля хн и Xjj-X^, где Xft = {x,H}d ортогональны относительно симплекической формы: ш(Хн, Хн~Х§) = 0, т. е. Xfi представляет собой косоортогональную проекцию поля Хн на TNc. Гамильтоново поле Хн совпадает с X^ на Nc тогда и только тогда, когда Хн касается подмногообразия. В этом случае функции fi, определяющие Nc, задают систему инвариантных соотношений гамильтонова потока Хн- § 9. Скобка и редукция Дирака
79
замечание 1. Поле Xj^l может быть также получено без явного вычислено
ния скобки (9.3), методом неопределенных множителей Лагранжа [57]. Для этого рассмотрим гамильтониан
Н* =Н{х)+ -а), (9.4)
г
совпадающий с Н(х) на Nc. Условия касания поля Хн* подмногообразия Nc принимают вид
{/і, Я}+ $>*{/<, Л} = О, і = 1,...,8. (9.5)
к
В силу (9.2) система (9.5) допускает единственное решение относительно Лі (ж).
Несложно проверить также, что поля Хн* X^ совпадают на Nc.
Замечание 2. Метод неопределенных множителей, указанный в предыдущем замечании, позволяет конструктивно получить систему инвариантных соотношений в динамических проблемах. Для этого необходимо задать первоначальную форму одного из предполагаемых инвариантных состояний с неопределенными коэффициентами, а затем проделать несколько шагов (9.4), (9.5) до тех пор, пока система инвариантных соотношений не будет однозначно разрешима относительно неопределенных коэффициентов и множителей Л/. Такой последовательный метод, не учитывающий, однако, гамильто-новой формы уравнений движения, был, по существу, использован классиками (Чаплыгин, Стеклов, Ляпунов) при поиске инвариантных соотношений и частных решений в динамике твердого тела [5].
2. Редукция Дирака. Так как для поля X^ ранг пуассоновой структуры (9.3) упал на | единиц, то в случае § 8 мы произвели редукцию первоначальной гамильтоновой системы Хн- С алгебраической точки зрения, редуцированная структура, возможно, приобретает дополнительные дробно-рациональные слагаемые, определяемые формулой (9.3). Рассмотрим процедуру редукции в более общей форме.
Пусть det\\fij\\ = 0. Тогда HM ф TNc Ш L(f), то есть касательное пространство к Nc и поля Xfj не порождают базис в пространстве га-мильтоновых векторных полей и L(f) HTNc / 0, т. е. часть векторных полей Xft касается Nc.
Подходящим выбором функций fi(x) в каждой точке Nc матри- 80
Глава 1
ца ll/ijll может быть приведена к виду
WfaW =
2 к
\
2 к
(9.6)
/
Допустим, что ранг Ц/^Ц, i,j = I + 1,... ,1 + 2k равен 2k. Тогда возможно корректно определить проекцию гамильтонова поля Xh на подмногообразие N* = {х: /;(х) = с;, і = 1 + 1,...,1 + 2к]. При этом HM = L*(f) Ш TN*, где L*(f) — линейная оболочка полей Xfj % = I + 1,...,/ + 2к на N*. Полученное в результате проекции векторное поле Хд, являющееся гамильтоновым относительно скобки (9.3) па N*, имеет ипволютивпый набор интегралов движе-
ния Ff (х) = /,; (х)
N»
і = 1,... ,1. Следовательно, возможна дальнейшая
редукция по симметриям, описанная в предыдущем параграфе, которая приводит к понижению ранга па 21.
