Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Борисов А. -> "Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике" -> 31

Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.

Борисов А. , Мамаев И.С. Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике — Удмуртский университет, 1999. — 470 c.
Скачать (прямая ссылка): puassonistrukturiialgebri1999.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 144 >> Следующая


Рассмотрим систему двух частиц в трехмерном пространстве с функцией Лагранжа

Если масса второй частицы стремится к нулю (є 0), то функция Лагранжа оказывается вырожденной по а в уравнениях движения пропадает ускорение q2. Уравнения (9.22) при є = 0 разрешимы лишь при условии

L = \{q\ +є&) + - U(qь q2). (9.21)

Уравнения движения имеют вид

(9.22)

Cg2

В = rot Л.

(9.23) § 9. Скобка и редукция Дирака 87

Определяя канонические импульсы р =

aq

Pi = qi, Р2 = Aiq2). (9.24)

получим, что условия разрешимости относительно д2 эквивалентны связям:

?>і(р, ч) =P2i-Mq2), і = 1,2,3. (9.25) Функция Гамильтона не зависит от р2:

H =Ip21+Ufa,®), (9.26)

а уравнения движения с неопределенными множителями примут вид

dU

Qi=Pi, Pi = , Oq2

. . . OU +,OA1 Cj-27'

J=I

Условие сохранения связи может быть представлено в виде

B(q2) х X- щ- = 0. (9.28)

Условие его разрешимости (вторичная связь) совпадает с (9.23). В общем случае матрица || {<?>;, <fij}\\ невырождена, поэтому с помощью скобки Дирака (9.22) па поверхности уровня щ = 0 і = 0, ... , 3 получим непротиворечивые уравнения движения, допускающие единственное решение pit), q(t) iq(t) удовлетворяет также уравнению (9.22) при є = 0).

Замечание 5. Уравнения (9.28) допускают произвол в определении Л: Л' = Л + /(р, q)S((jf2); который тем не менее не сказывается на векторном поле (9.27), определенном на поверхности уровня связей ipi(р, q) = 0, г = 0, ... ,3.

Если магнитное поле постоянно

В = rot А = const, 88

Глава 2

и энергия взаимодействия зависит лишь от взаимного расстояния г = \qi — q2\, то уравнения (9.22) при є = 0 допускают гамильтоново описание с невырожденной скобкой.

Выберем ось OZ вдоль поля, из (9.22) находим z\(t) = z2(t) = = at, + b, a,,b = const. Проекция движения частиц на плоскость XY описывается уравнениями

т, = ЯМ

a.Xi Uy і ,-

„т , S= V(^l-X2)2 + {уі-у2)2.

i2 = _dU(s) . =ІМ!І ду2 В Ox2

(9.29)

Уравнения (9.29) гамильтоновы относительно скобки Пуассона

{жі, Px} = ІУі, Py} = 1, {J/2, ^2 } = ,

с функцией Гамильтона

# = ^(Рж +РІ) + U(s), Px = Xi, Py = Vl,

Замечание 6. Переход от гамильтоновой системы со связями к эквивалентной (вырожденной) лагранжевой системе возможен в случае разрешимости системы

• Ці

(li = я--1" > ^ ia-

dpi ^ jOpi (9.30)

fi{p,q) = о, і = i,...,n, j = і,...,s,

относительно неизвестных р, А. При этом функция Лагранжа находится обычным преобразованием Лежандра — L = pq — Н. Несложно проверить, что для указанного примера двух частиц это преобразование приводит к исходному лагранжиану (9.21). В общем случае система (9.30) не допускает решения (аналогично случаю неголономных систем, не допускающих гамильтонова представления).

К сожалению, возможность лагранжева описания гамильтоновых систем со связями, его механический и геометрический смысл, почти совсем не изучены [227]. § 9. Скобка и редукция Дирака

89

7. Дополнительные возможности.

1. Приведем специальный случай редукции Дирака, использованный Мозером [120, 294] для получения новых интегрируемых случаев из уже известных.

Допустим, что связи (9.30) могут быть разбиты на две группы Л И 5 • • • 5 fk{x), gi{x), ... , gk(x), так что /і (х), ... , fk(x) и гамильтониан Н(х) входят в инволютивный набор функций на многообразии G. Несложно проверить, что любая функция из G также является интегралом движения для векторного поля, полученного из исходного с помощью редукции Дирака. Эти интегралы находятся в инволюции также и относительно скобки Дирака (9.3).

Таким образом, было получено n-мерное обобщение (на Sn) классической интегрируемой задачи Неймана из интегрируемого потока в евклидовом пространстве En [120, 294].

2. Редукция по симметриям (§ 8) также может быть интерпретирована в терминах редукции Дирака. Действительно, пусть нам удалось проинтегрировать векторные поля, соответствующие первым интегралам системы

Xi = {х, Fi]. г = \, ... ,к,

которое для простоты будем считать инволютивным [Fi, Fj} = 0. Координаты вдоль соответствующих потоков обозначим Ti. Выбирая в качестве связей функции Fi (х), ... , Fk(x), ті (ж), ... , тк(х), с помощью скобки Дирака получим редуцированную систему (ранг которой упал на 2к) в точности эквивалентную приведенной системе при стандартной редукции по симметриям (редукции по моменту см. §8). Глава 2

Скобки Пуассона в динамике твердого тела

1. Классические формы уравнений динамики твердого тела

Рассмотрим твердое тело, вращающееся в потенциальном силовом поле вокруг неподвижной точки О. Для описания его движения используются различные системы переменных. Конфигурационное пространство, представляющее собой множество всех положений твердого тела, является группой Ли SO(S) (группа ортогональных матриц с определителем единица), и в качестве координат, определяющих положение твердого тела, можно взять, например, углы Эйлера в,(р,ф [5].

Для их введения расположим в точке О вершины двух ортогональных трехгранников: неподвижного Ох, у, z и подвижного Oxyz, жестко связанного с вращающимся твердым телом (рис. 1).
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed