Пуассоновые структуры алгебры ли в гамильтоновой механике - Борисов А.
Скачать (прямая ссылка):
Первый поворот па угол ф (угол прецессии) вокруг оси Oz переводит подвижный трехгранник Oxyz в положение Ox'у'z'. Второй поворот на угол в (угол нутации) совершается вокруг оси Ox', называемой линией узлов. Последний поворот на угол <р (угол собственного вращения) вокруг оси Oz совмещает оба трехгранника. Таким образом, три поворота, определяемые углами Эйлера, позволяют полностью задать положение подвижного трехгранника оносительно неподвижного.
Углы Эйлера являются локальными координатами на группе и не могут без особенностей параметризовать все гладкое многообразие. Гамильтониан в углах Эйлера в,<р,ф и соответствующих им канонических импульсах Pe-Pv,Рф также содержит особенности и, кроме того, (при
Рис. 1 § 1. Классические формы уравнений динамики твердого тела
91
задании некоторого потенциала V) является слишком громоздким и неалгебраическим, что делает канонические уравнения движения неудобными для поиска первых интегралов и проведения численных расчетов.
1. Уравнения движения в направляющих косинусах. Рассмотрим другую систему переменных (М, а, ?, 7), где M=(Mi, M2, Ms) компоненты кинетического момента на оси связанной с телом системы координат, а a.?, 7 — единичные орты неподвижного пространства в проекциях на оси связанной с телом системы координат. Матрица направляющих косинусов (матрица поворота), определяющая положение твердого тела в неподвижном пространстве
("і ?i Ti \
а2 /? 72 (1.1)
аз /? 73 /
является ортогональной и принадлежит группе 50(3).
Запишем уравнения Пуанкаре (§6 гл. 1) па группе 50(3), используя в качестве квазискоростей компоненты угловой скорости иі на оси, связанной с телом системы координат, а в качестве избыточных координат на группе, компоненты направляющех косинусов. При этом в качестве базиса векторных полей v\,v2,vz выступают левоинвариант-ные векторные поля на SO('S), отвечающие вращениям твердого тела вокруг главных осей еі,е2,ез элипсоида инерции с единичной угловой скоростью. В трехмерном евклидовом пространстве, вследствие ei Xe2 = е3,е2 X е3 = еі,ез X Єї = е2, получаются следующие соотношения для коммутаторов [vi,v2] = V3, [v2,1?] = v\, [vz, v{\ = V2- Пользуясь формулами Пуассона, выражающими условия постоянства векторов а, /3,7 в неподвижной системе координат: a = а х ш,... , получим выражения для Vt(L) (формула (6.4) §6 гл. 1)
L=I^ a)+ (^ в) + <у) = (ш ^ X a + ^ х в + ^ х -у\
W ' ' ^d7'07 \ 'да + d? 1 д7 7/'
Таким образом, уравнения Пуанкаре в потенциальном поле сил с лагранжианом L = T + V, где T = левоинвариантная квад-
Ai
ратичная форма кинетической энергии с диагональным тензором инерции I = diag(/i, I2,13), V — потенциальная функция, зависящая, вообще говоря, от всех компонент направляющих косинусов V = V(a,?, 7), 92
Глава 2
имеют явный вид
A<?± + 9L х ш = OL х а + 8L х а + OL х dt дш дш да d? д7 '
(i = а x ал ? = ? x w, 7 = 7 x ы.
В такой форме уравнения остаются справедливыми и при наличии гироскопических сил. При этом в лагранжиане появляются дополнительные, линейные по w слагаемые, определяющие обобщенный потенциал L = T + (W,u;) - V, W = W(a,?, 7), F = V(a,?,j). Компоненты вектора W задают векторный потенциал гироскопических сил.
Переходя с помощью преобразования Лежандра к проекциям момента на оси, связанной с телом системы координат M = (Mi, M2, M3)
M = Щ?,Н = (M.w)-L дш
, получим уравнения движения в гамиль-тоновой форме (уравнения Пуанкаре—Четаева)
" = axIr ^xHr ^xIr
H = i(M*,AM*) + V(a,?,-y), M = M *+W(a,?,-y), A = I
-1 (1.2)
Уравнения (1.2) являются уравнениями Гамильтона с пуассоновой структурой, определяемой алгеброй so(3) ®SM3 ® Ж3 ® Ж3, являющейся полупрямой суммой алгебры вращений и трех алгебр трансляций (см. формулу (6.10) §6 гл. 1)
{Mi, Mj} = -EijkMk, {Mi, <Xj} = -?ijkak, {Mi?j} = ~eijk?k, {Mi,^j] = -Eijk^k,
{ai,aj} = {?i,?j} = {Ъ:Ъ\ = = {a*,7j} = {?hli} = 0.
(1.3)
Скобка Пуассона (1.3) является вырожденной и обладает шестью функциями Казимира
Д = («,«), h = (?,?), /3 = (7,7),
U = (а,?), /5 = К7), U = (?,l). § 1. Классические формы уравнений динамики твердого тела
93
Размерность неособого симплектического листа, гомеоморфного (ко)ка-сательному расслоению 50(3), равна шести. Вследствие выполнения соотношений ортонормированности, симплектический лист определяется условиями: /1 = /2 = /3 = 1, /4 = /5=/0= 0.
Замечание 1. Отметим, что если за переменные, определяющие движение твердого тела, выбраны проекции кинетического момента тела на оси неподвижной системы координат Oxyz и строки матрицы поворота А (1.1) (а не столбцы, как в (1.2)), то образуется алгебра, изоморфная (1.3) (но следует везде заменить знаки «минус» на «плюс»). Уравнения движения на ней рассматриваются в § 10 гл. 2.
Замечание 2. Компоненты момента M связаны с переменными Эйлера следующими сотношениями, получающимися из кинематических уравнений Эйлера
sin ш . .
M1 = . (P^ P^ COSUj + ре cosy?,
Sln и
cos ю , .
M2 = (РФ Pif COS и) рв Sin ф,
M3 =P4,.
Для практических вычислений избыточность уравнений (1.2) является очень неудобной, так как, например, при численном интегрировании этих уравнений быстро нарушаются соотношения ортонормированности (хотя уравнения (1.2) остаются справедливыми и в случае, если вектора «,/9,7 необразуют ортонормированный базис — в этом случае динамика развертывается на других симплектических листах). В следующем параграфе будет рассмотрена кватернионнал форма уравнений движения, которая лишена этого недостатка.
