Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Wk = [Ux, U,] (4.20)
эквивалентно уравнению
Uix = 2 (Ul)y + UyUxx + UxxU0 - Uxxxy - 2 [Ux, Wl- (4.21)
Уравнение (4.21) и является интегрируемым матричным аналогом уравнения (1.16). Уравнение (4.21) оставляет инвариантным множество симметрических и эрмитовых матриц и на множестве диагональных матриц переходит в уравнение (1.16). Собственные числа f(t, у) оператора L в силу леммы 1 и вида оператора А (4.19) удовлетворяют уравнению волны Римана (3.1). Уравнение (4.21) также интегрируется методом обратной задачи рассеяния (в ее матричном варианте [38]).
§ 5. О связи с уравнением Кадомцева — Петвиашвили
I. В данном параграфе мы покажем, что двумерное интегрируемое уравнение (1.21)-(1.22) косвенно связано с уравнением Кадомцева — Петвиашвили [39]
(vt-Qvvx+ vxxx)x = o2Vyy. (5.1)
Справедливо следующее утверждение.
Утверждение 3. Двумерное уравнение
(Utx - ? (4UxUxy + 2UxxUy - Uxxxy) - у (вUxUxx - ихххх) )х=
= -а2 (' $UyyV + 3 чихуу) (5.2)
допускает представление Лакса (а2, ?, v — произвольные вещественные постоянные).
4 О. И. Богоявленский 49 Доказательство. Рассмотрим уравнение Лакса L = [L, А], где операторы L и А имеют вид
L = L1 + аду, Lі = — dl + их (t, х, у),
А = ?A, + у A2 — 2а^ду + aw(t, х),
A1 = — 2 (^yL1 + LjdJ — Uydx — дхиу, (5.3)
A2 = Adl — 3 (ихдх + дхих).
Операторы Ai, Аг совпадают с операторами (1.19), (1.20). Из результатов § 1 следует, что ,коммутатор операторов LhA имеет вид
[L, А] = ? (4UxUxy + 2UxxUy — Uxxxv) + 7 (6UxUftx — Uxxxx) —
— a(bdx + дхЪ) + a2wv, b = wx+$uyy + Зуи^. (5.4)
Поэтому уравнение Лакса (1.17) с операторами LhA вида (5.3) эквивалентно двум уравнениям
Utx = ? (4 UxUxy + 2 UxxUy — Uxxxy) + -у (6 UxUxx — Uxxxx) + a2wv,
Wx = -^uw- Зуи^. (5-5)
Исключая из этих двух уравнений функцию w(t, х, у), приходим к уравнению (5.2). Следовательно, уравнение
(5.2) эквивалентно уравнению Лакса (1.17), (5.3). Косвенная связь уравнений (1.21) — (1.22) и уравнения Кадомцева — Петвиашвили (5.1) состоит в том, что оба эти уравнения представляют собой специальные случаи при а = 0 и при ? = О двумерного интегрируемого уравнения (5.2) (уравнение (5.1) вкладывается в (5.2) подстановкой v = их).
II. Укажем дополнительно явный вид оператора А
(5.3):
А == ? (4dxdy — 2Uydx — AuxOv — 3иху) — 2а?dy +
+ У (4dl — 6ихдх — 3ихх) + aw. (5.6)
При вещественных а, ? и чисто мнимом а оператор А косоэрмитов, а оператор L (5.3) эрмитов.
В представлении Лакса для уравнения (5.2) при аФ 0 оператор А можно заменить на оператор Ao = А + + 2cr'?L2, так как [L, А] = [Ь, A0]. Оператор A0 имеет следующий вид
A0 = 2a_1?L^ — ? (Uydx + дхиу) + уА2 + a w, (5,7)
50 Этот оператор, в отличие от оператора А (5.6), не содержит дифференциальных операторов ду, д\. Поэтому уравнение (5.2) может быть отнесено к иерархии уравнения КП [171].
Представление Лакса для уравнения (5.2) с оператором L = Lj + аду и оператором A0 (5.7) не допускает предельного перехода а -*¦ 0, а с оператором А (5.6) допускает такой предельный переход.
Отметим, что несмотря на указанную связь, свойства двумерного уравнения (1.21)-(1.22) и уравнений (5.1), (5.2) существенно различны. Уравнение Кадомцева — Петвиашвили (5.1) и уравнение (5.2) вообще не имеют никаких опрокидывающихся солитонов; все их решения при изменении времени остаются однозначными, в отличие от решений уравнения (1.21) — (1.22).
Замечание. Уравнение (5.2) после применения линейного преобразования координат
х' = X - ?-1-^ - 2a2?~Y*.
у' = у + 3a2?-'f Ґ = ?i (5,8)
принимает вид (штрихи у координат х , у', t' опущены)'
(Utx - 4UxUxv - 2UyUxx + Uxxxy)х = -Ci2Uyyy. (5.9)
Поэтому уравнения (5.2) при различных ненулевых значениях параметров ?, "f эквивалентны одному уравнению (5.9). Уравнение (5.9) с помощью вещественной замены координат t' = Xt, у' = Xy, х = х, Я = Iah1 приводится к одному из двух различных неэквивалентных уравнений, соответствующих знаку величины а2.
§ 6. Динамика полюсов мероморфных решений
I. В известной работе [170] указаны решения уравнения Кортевега — де Фриза и уравнения Буссинеска, имеющие вид
п
u(t,x) = 2 2 S5 — в,-(0). (6.1)
3=1
где W (х) — двоякопериодическая мероморфная функция Вейерштрасса. Применение методов работы [170] к другим нелинейным уравнениям отражено в работах [6, 7, 20].
Обозначим Wi (х) любую из функций
ж-2, sin-2®, sh-2®, (6.2)
4*
51 которые отличаются на постоянную 0, 1/3, —1/3 от предельных случаев ^-функции Вейерштрасса.
Функции Si(Z) удовлетворяют соотношению = —(х) и соответственно имеют вид
X-1, ctga;, cth х. (6.3)
Функции If1 (х) (6.2) удовлетворяют дифференциальному уравнению
Vi = ШХ + AqW'v (6.4)
где коэффициент q в трех случаях (6.2) принимает соответственно значения 0, —1, 1.
Лемма 1. Функции (6.2), (6.3) удовлетворяют следующей формуле сложения:
W1 (а) ^ (Ъ) = W1 (а - Ъ) ^[ (Ь) - 2W[ (а - b) W1 (b) -
- К (а - Ъ) W1 (а) + $>{ (а - Ь) (^1 (а) - & (b)). (0.5)
Доказательство леммы 1 состоит в прямой проверке, использующей стандартные свойства элементарных функций (6.2).
