Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
и поэтому становятся многозначными функциями от t, у. Многозначными становятся и соответствующие собственные функции дискретного спектра т|)п(?, х, у), удовлетворяющие условиям
+ uxtyn = ZnTjj7l5 Zn = — Хп, Xn > 0, (3.26)
¦ф„(?, X, у)= ехр(Хпх) (1 + 0(1)), X -*¦ — оо, X, y)=b„(t, у)ехр(-Хпх) (1 + 0(1)), X +0°.
42 Используя явный вид оператора Л (1.19), (1.20)
А = 4dtdy — 2Uydx — Auxdy — 3иху + у (4dl ~ 6uxdx — 3ихх)
(3.27)
и уравнение (3.25), находим асимптотику при <х>:
Ы« + АЫ = (- 2SvK + 8у^)ехр(Я„.г)(1 + о(1)). (3.28)
В силу леммы 2 § 2 функция (ip„), + А (гр„) является собственной функцией оператора L, отвечающей собственному числу /„. Поэтому из асимптотик при х -»- —°° (3.26), (3.28) следует равенство
Wi + А (ф„) = (- 2gyK + 8уX3n) Ijjn. (3.29)
Подставим в это равенство асимптотику (3.26) при х
+оо и используем формулы (3.24), (3.25), (3.27); получим уравнение
(bn)t + 4А* (Ьп)и = (- 2An (gy + hy) + 8уЯ®) Ъп. (3.30)
Это — линейное уравнение с переменными коэффициентами, поскольку Xn, g и h — функции от t, у.
III. Спектральные функции гр(/с, t, х, у) удовлетворяют условиям
+ = Л>0, (331)
1)l(k, t, X, у ) = ехр ( — UiX) + о(1) , X — OO, t, X, у) =
= а (к, t, y)exp(-ikx) + b(k, t, y)exp(ikx) + o(l), x + oo.
Из уравнения Лакса (1.17)-(1.20) следует уравнение (L — к2) (яр( + Аїр) = 0. Отсюда, используя двумерность пространства собственных функций тр(&, t, х, у) (3.31) при фиксированных к, t, у и асимптотику (3.31) при X — oo, получаем уравнение
гр, + Агр = [Iikgv +^ik) (3.32)
Подставляя в это уравнение асимптотику (3.31) при х -»--*¦ + оо и используя формулу (3.27), получаем уравнения для данных рассеяния
а, — Ak2Cill = 2ik(gy — hy)a, (3.33)
bt - Ak2bv=(2ik(gy + hy)+8-iik*)b. (3.34)
43 Таким образом, эволюция данных рассеяния, соответствующих решению u(t, X1 у) уравнения (1.21), полностью определяется уравнениями (3.25), (3.30), (3.33), (3.34).
IV. Выше мы показали, что применение метода обратной задачи к уравнению (1.21) имеет две особенности. Во-первых, это не постоянство и возникновение многозначности собственных чисел /n =— А*. Во-вторых, дифференциальные уравнения для данных рассеяния (3.30), (3.33), (3.34) содержат асимптотические характеристики g(t, у) и h(t, у) неизвестного решения u(t, х, у).
Если данные рассеяния известны, то потенциал ux(t, х, у) определяется по формулам [5]
их(х) =-2dK х) , (3.35)
OO
К (х, X1) + F (х + X1) + \ К (х, z)F(z + X1) dz = О,
(3.36)
N 00
> V bnexP (-Kx) , 1 f „\ ifcx b(k)
F(X) = Z іа'ПК) 2лГ J Т ( ^ dk' r^ = TWV
п=1 v п> _оо
в которые переменные t, у входят в виде параметров. Из уравнения (3.35) получаем формулу
u(t, X, у) = -2К(х, х, t, y)+G(t, у), (3.37)
где G(t, у) — произвольная функция, выбор которой необходимо согласовать с асимптотическими характеристиками g(t, у) и h(t, у).
V. Укажем точные iV-солитонные решения уравнения (1.21). Пусть функция b(k, t, у)= 0. Тогда функция a(k, t, у) определяется уравнением [5]
а(М,у) = П ^Iil- (3-38)
п~1К ~г глп
Подставим эту формулу в уравнение (3.33) и учтем уравнения (3.25), получим следующее необходимое условие для асимптотических характеристик g(t, у) и h(t, у):
(g-h-A 2 О =0. (3.39)
V п=1 Iv
Пусть коэффициенты bn(t, у) определены из уравнений (3.30) при g + A = 0, а функция ah(k, t, у) задана
44 формулой (3.38). Определим функции
(3.40)
Тогда в соответствии с формулами Хироты [37] и формулой (3.37) потенциал u(t, х, у) имеет вид
и (t, х, у) = — 2 In det A (t, х, у) + G (t, у), (3.41)
Aij (t, X, у) = Sij + (Xi + ^r1Pi (і, у) ехр (— (Xi + Xj) х),
где Aij(t, х, у) — компоненты матрицы A, i, / = 1, ..., N. Асимптотика функции u(t, х, у) при Ы °° в силу (3.41) и Я,>0 имеет вид:
N
при х-)—оо u(t, х, у) ->4 2 К + G(t, у), ,„ ...
п=1 (оЛ.&)
при X +оо u(t, х, у)-+G (t, у).
Поэтому необходимое условие (3.39) выполнено при произвольной функции G(t, у).
При ?->±оо решение (3.41) распадается в сумму од-носолитонных решений (3.17), имеющих асимптотику (3.23), удовлетворяющую условию g(t, у)+h(t, у) = 0. Следовательно, это же условие должно быть выполнено и для решения (3.41), что в силу (3.42) однозначно определяет вид функции G(t, у): ^
G(t, у) = h («, у) = - g (t, у) = - 2 S К (t, У). (3.43)
П=1
При N = 1 формулы (3.41), (3.43) переходят в опрокидывающийся солитон (3.17). В силу того что функции Xn (t, у) удовлетворяют уравнению (3.25), эквивалентному уравнению волны Римана, в решениях (3.41), (3.43) также возникает явление опрокидывания графика функции u(t, X, у), одновременное ,на всей ОСИ — оо<?<+оо. Поэтому формулы (3.41), (3.43) вместе с уравнениями (3.25) определяют опрокидывающиеся iV-солитонные решения уравнения (1.21).
Опрокидывание графика функции и (t, х, у) происходит одновременно с опрокидыванием графика одной из функций Xn(t, у). При этом каждому выбору однозначных ветвей функций Xn(t, у) (и соответствующих ?„(?, у)) соответствует однозначная ветвь функции и(t, х, у), причем производная Ux(t, х, у) для каждой ветви является /V-солитонным решением уравнения КдФ.
