Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Эволюция данных рассеяния а (к, t, у, z), Ъ (к, t, у, z) и bn{t, у, z) для оператора L (7.2) в силу уравнения (7.4) описывается линейными дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка по t, у, z, которые в принципе могут быть решены. В этом смысле трехмерное уравнение (7.4) является интегрируемым методом одномерной обратной задачи рассеяния, связанной с оператором L (7.2).
§ 8. Третье двумерное интегрируемое уравнение
I. Выведем из уравнения Лакса
L, = [L1A1] (8.1)
двумерное эволюционное уравнение для функции u(t, х, у), которое при отсутствии зависимости от у переходит в уравнение [166, 167]
Ut = U3Uxxx, (8.2)
известное под названием «уравнение Гарри Дима». Операторы L и Ai выберем в виде [167]
L = u (дх — а2) и, A1 = LA +AL. (8.3)
Справедливы равенства
Li = U1U-1L + LutW1,
[L, A1J = L [L, A]+ [Lj A] L. (8'4)
Поэтому уравнение Лакса (8.1), (8.3) является следствием уравнения
UtU-1 = [L, А]. (8.5)
Пусть оператор А имеет вид
A = -a(udx + dxu)+$(2dy + gdx + dxg), (8.6)
где функцию g(t, х, у) необходимо найти из уравнения (8.5). Несложное вычисление приводит к следующей формуле
[L, А] = ?Fo* + $Vxdx + au2 (uxxx -AaiUx) + + ? ((«2fc)x — 2g (UUxx)x — 2 (Musoc)l, + 4a2u (gux + uv)), (8.7)
где функция V (t, x, у) имеет вид
F = 4и (ugx - gux - Uy). (8.8)
Из уравнения (8.5), (8.7) следует условие F = O. Поэтому в силу уравнения (8.8) получаем выражение для функции g(t, х, у):
X
g (t, х,у) = —и (t, х, у) j (?-1)^ (t, g, у) dl = — Udx1 (u_1)y.
(8.9)
Операторное уравнение (8.5) после подстановки формул (8.7) — (8.9) переходит в эволюционное уравнение
Ut = «и3 (Uxxx — 4а2их) +
+• іф (ихиху — UyUxx — UUxxy — giiuxxx + Аа2и (gux + иу))'. (8.10)
Наиболее простой вид это уравнение принимает при а = 0:
Uf = CLU3Uxxx -(- w? (UxUXy UyUxx UUxxyи^ихххдх (и )у).
(8.11)
Уравнение (8.11) для функций вида u(t, х, у) = u(t, z), где Z = X + су, сводится к уравнению (8.2).
Уравнение (8.11) (и уравнение (8.10)) в силу проведенного выше вывода допускает эквивалентное представление Лакса (8.1). К этому уравнению в силу вида операторов LhA (8.3), (8.6) применима основная лемма § 2. Поэтому в силу уравнения (8.11) собственные числа f(t, у) оператора L (8.3) удовлетворяют дифференциальному уравнению
/. + 4?//,=.0,
эквивалентному уравнению опрокидывающейся волны Римана. Уравнения (8.11), (8.10) так же, как и другие уравнения, исследованные в данной главе, обладают опрокидывающимися решениями. II. Рассмотрим уравнение
Lf = 8aL2 + 2?L + [L, А], (8.12)
57 которое для операторов (8.3) эквивалентно уравнению MiW-1L + LUtW1 = SaL2 + 2?L + L [L, A] + [L, A] L
или
UtU-1 = 4aL + ? + [L, А]. (8.13)
Возьмем оператор А в виде
А = gdx + dxg, g = си — CLudx1 (w-1).
Тогда уравнение (8.13) принимает следующий вид:
Ut = а и (2 иихх — ul) + ?w + и3иххх (ad*1 (м-1) — с). (8.14)
Существенно, что полученное уравнение (8.14), в отличие от (4.3), является трансляциояно инвариантным.
§ 9. Интегрируемая двумеризация уравнения Бюргерса и динамика особенностей
I. Уравнение Бюргерса
Vt = VVx+IbVxx (9.1)
преобразуется в уравнение теплопроводности с помощью замены у = 2{мрхф-1 [176—178]. Рассмотрим следующую естественную двумеризацию уравнения (9.1):
Щ = Wv + VxOx1Vy + \wxy. (9.2)
Уравнение (9.2) для функций v вида v(t, х, y)=v(t, z), z = X + су сводится к уравнению (9.1).
Уравнение (9.2) после подстановки v = их принимает вид
Uxt - UxIlxy + UyUxx + U хху ¦ (9.3)
Интегрируя это уравнение по х, находим
Ut = ихиу + \хиХу + |д.с(t, у), (9.4)
где c(t, у)— произвольная функция. Уравнение (9.4) после подстановки и = р, In фі переходит в линейное уравнение
Фи = + c(t, У)т- (9-5)
Если произвольная функция c(t, у) зависит только от t,
то уравнение (9.5) после замены ф = фх exp Jc (|) d% пресі
образуется к виду ф4 = |ЛфХ!/. Таким образом, уравнение 58 (9.2)-(9.3) линеаризуется с помощью преобразования
V = |Л<р*ф-1.
II. Рассмотрим решение уравнения (9.3) с логарифмическими особенностями вида
га
u{t, х, у) = ц,1пЦ(а:— a}(t, у)). (9.6)
3=1
Соответствующие функции V = Ux имеют полюсы первого порядка:
п
V (t, X, у) = JJ, 2 (х - щ (t, у))-\ (9.7)
3=1
Для функции f(x) = x~~l справедливы уравнения
Г =-2/Л t(a)f(b) = f(a-b)f'(b) +
+ Г (а-Ь) {f(a)-f{b)). (9.8)
Из последнего уравнения в силу нечетности функции f(x) следует формула сложения
f(a)f'(b)+f'(a)f(b)=-f(a-b)(f(a)-f'(b)). (9.9)'
Уравнение (9.3) для функций вида (9.6) после применения формул (9.8), (9.9) принимает вид
п [ п
2 Ujt — И- 2 («j — ЯйГ1 (aJV + О-Пу) J = I V кф]
Отсюда получаем, что уравнение (9.3) для функций (9.6) эквивалентно системе дифференциальных уравнений
П 4-
aH = ^a а (9-И)
кфі І к
Система (9.11) имеет простой закон сохранения
(ai(t, y)+... + an(t, y))t = 0. (9.12)
Система уравпений (9.11), так же как и система (6.17), относится к классу систем гидродинамического типа [174] и, видимо, является интегрируемой.
