Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
III. Пусть функция u(t, xi, .. ., хт) зависит от т + 1 переменной, причем Xi = х. Многомерное интегрируемое обобщение уравнения Бюргерса определим формулой
п
uXt = ^2 ba^(uxxaux^ + UxxgUxa + Jxm5cxctxp), (9.13) где bad = be а — произвольные ПОСТОЯННЬІЄ.
59
(х — dj)~2 = 0. (9.10) Уравнение (9.13) линеаризуется с помощью замены м = р.1пф. Уравнение (9.13) для решений вида (9.6), где aj = aj(t, х2, ..., хт), эквивалентно системе уравнений
т п
aIt = I1 2 S &a?(aJ*a*? — («j — a-hV1 (a/'.xa«jx?+ «teA'%))' a,?=lft?4)
(9.14)
где принято условное обозначение (Ijx1= ajx = — 1> ?jxxp = 0. Функция а = а\ + .. . + ап в силу системы (9.14) удовлетворяет линейному уравнению
m
a-t = V- S &a?«xax?- (9.15)
a,?=-2
Уравнения (9.14), (9.15) являются обобщениями уравнений (9.11), (9.12).
60 ГЛАВА III
ДВУМЕРНОЕ МОДИФИЦИРОВАННОЕ ИНТЕГРИРУЕМОЕ УРАВНЕНИЕ
В работах [2, 3] была установлена важная роль в теории уравнения Кортевега — де Фриза двух преобразований Миуры и преобразования Гарднера. G помощью этих преобразований было выведено модифицированное уравнение КдФ. В данной главе преобразования Миуры и Гарднера применены для вывода двумерного модифицированного интегрируемого уравнения, имеющего две вещественно-неэквивалентные формы. Показано, что двумерное уравнение, выведенное в гл. II, и его модифицированное уравнение, несмотря на наличие опрокидывающихся солитонов, обладают счетным множеством первых интегралов. Указаны три различные представления Лакса для двумерного модифицированного уравнения, в которых оператор L является соответственно симметрическим, кососимметрическим и эрмитовым. Эти три представления Лакса отражают связь двумерного модифицированного уравнения с интегрируемым уравнением (1.21)-(1.22) гл. II, с уравнением Синус Гордона и уравнением МКдФ (соответствующие операторы L совпадают). Выведены уравнения эволюции данных рассеяния. Установлено, что стационарное модифицированное уравнение включает в себя ряд интегрируемых случаев уравнения Клейна — Гордона.
§ 1. Двумерное модифицированное уравнение
I. В данной главе мы продолжим изучение двумерного уравнения
Uxt AllxUxy 2lUyUxX SUxxxy1 (1.1)
интегрируемость которого доказана в гл. II. Применим к уравнению (1.1) преобразование Миуры, которое выберем в виде
их = и2 + ovx, и = дхг (v2) + ov, (1.2)
61 где o = const. Вторая формула (1.2) определяет связь первообразной 'Ox1(Vi) с функцией u(t, х, у).
Прямая проверка доказывает, что при выполнени соотношений (1.2) справедливо тождество
Uxt — кихиху — THUyU1сх + SUxxxy =
= (2v + одх) (vt — kv2vy — mvx?x1 (v2)y + Svxxy) +
+ (4s— o2/c) VxVxy + (2s — a2m) vyvxx. (1.3)
Эта формула показывает, что значение параметра к/т = 2 приводит к выделенным свойствам соответствующих уравнений. В силу тождества (1.3) при к = 4, т = 2, о2 = s получаем, что из уравнения
Vi = 41;2? + 2vxdx% (V2)y — svxxy (1.4)
при преобразованиях Миуры (1.2) следует уравнение (1.1). При s>0 имеем а = ±s1/2 и преобразование (1.2) устанавливает вещественную эквивалентность уравнений (1.4) и (1.1). При s<0 имеем a = ±i!s|1/2 и преобразование (1.2) отображает вещественные решения уравнения (1.4) в комплексные решения уравнения (1.1).
Все уравнения (1.1) при s ?= О эквивалентны, так как преобразование и = sui, t = S-1^1 приводит уравнение (1.1) к виду cs = l. Напротив, никакие вещественные масштабные преобразования не меняют знак параметра s в уравнении (1.4). При s>0 это уравнение отображается в уравнение (1.1) с помощью вещественного преобразования Миуры и поэтому будет называться его двумерным модифицированным уравнением. При s < О имеем другое, вещественно не эквивалентное ему уравнение.
Уравнение (1.4) для функций v(t, х, у), не зависящих от х, имеет вид Vt = Av2vy. Это уравнение эквивалентно уравнению опрокидывающейся волны Римана; во всех его непостоянных решениях происходит опрокидывание графика функции v(t, у).
При s>0 достаточно рассмотреть случай s = 1; тогда уравнение (1.4) имеет вид
Vi = (2^5"1 (v% — 1?)*. (1.5)
При s<0 достаточно положить s = — 1, тогда из (1.4) получаем уравнение
Vi =^Vdx1 (V2)v + Vxv)*- (1-6)
62 Первообразную дх 1 (v2)y в уравнениях (1.4)-(1.6) можно определить, например, формулой
X
OJVM*.®. У) = I V2y (t, І, у) dl-о
Уравнения (1.5), (1.6) для функций v(t, х, у) вида v(t, х, у)= v(t, z), z = x + c~ly,
переходят в два вещественно не эквивалентные модифицированные уравнения Кортевега — де Фриза
CVt = QV2Vx-SVxxx, s = ±l. (1-7)
II. Выделим в уравнении (1.4) первообразную Ox1(V2)v и продифференцируем по х\ получим уравнение, не содержащее первообразной:
(?1 (vt — Av2Vy + SVxxy)) х = Avvy. (1.8)
Теорема 1. Любое решение уравнения Клейна — Гордона
= /(ф), (1.9)
где функция /(ф) удовлетворяет уравнению
»/"(<р) = /(ф), (1-ю)
определяет решение уравнения (1.8) по формуле
v(t, х, у) = jtpx(x + c(t), у), (1.11)
где c(t)— произвольная функция.
Доказательство. Уравнение (1.8) после подстановки выражения (1.11) принимает вид
