Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
45 § 4. Второе двумерное интегрируемое уравнение
I. В данном параграфе мы построим двумерное уравнение для функции u(t, х, у), допускающее операторное представление вида (2.1):
L = aL2 + ?L + [L, А], (4.1)
где a(t, у), ?(?, у)—произвольные функции от t, у.
Пусть L — оператор Шрёдингера (1.18), оператор А является суммой оператора (1.19) и оператора (3.2) главы I:
А = — 2 (dyL + Ldy)—(uydx + dxuy) + у (Ml—6uxdx—3uxx) +
+ -5- axd%--1 (3ахих + au + 2?r) dx + ~ aux--axux.
(4.2)
В этом случае операторное уравнение (4.1) эквивалентно следующему дифференциальному уравнению:
Ufx = 4UxUxy + 2UyUxx Uxxxy + Y (6UxUxx UXxxx) +
аих -Ь ^yux — axiixxxx 2* ^^ххх
+ J ихх(3ахих + au + 2?a;). (4.3)
л-
Это новое двумерное дифференциальное уравнение, так же как и уравнение (1.21), может быть решено методом одномерной обратной задачи рассеяния.
К уравнению (4.1) — (4.3) применима лемма 1, и поэтому собственные числа f(t, у) оператора Шрёдингера L= — dl + Ux в силу (4.3) удовлетворяют .уравнению (/ = -Я2)
ft - Affy = af ¦+ ?/, Xt + 4X2Ky + Y cd3 - -J ?* = 0. (4.4)
Уравнение (4.4), как и уравнение волны Римана (2.16), имеет решения с опрокидыванием графика функции f(t, у); но имеет также и всюду однозначные гладкие решения. Например, решение типа бегущей волны (здесь а и ? постоянны)
f(t, у) = сехр ^t-Iayy (4.5)
Утверждение 2. Уравнение (4.3) имеет точное решение — солитон, который определяется формулой
u{t, X, y) = -2X(t, y)th(X{t, у)х — <p(t, у)), (4.6)
46 где X(t, у), (p(t, у) — произвольные решения уравнений Xt + /tmv + -1 аХ3 - і ?A = 0, ф( + 4Я2Фу = 4уЯ3. (4.7)
Доказательство аналогично доказательству утверждения 1 из § 3 и может быть заменено прямой подстановкой в уравнение (4.3).
Первое уравнение (4.7) является следствием уравнения (4.4) после подотановки / = —Я2. Простейший вид солитона (4.6) определяется следующими явными решениями уравнений (4.7):
% = с exp ij ?u — J ay), ф = — ^ Я — In I аХ2 — ? |,
(4.8)
где а и P постоянны.
II. Предположим, ЧТО функция u(t, X, у) при \х\ -*¦ OO имеет асимптотики (3.24); собственные функции Ipn (f, х, у) оператора Шрёдингера удовлетворяют условиям (3.26). В асимптотике (3.26) при ж-»-— °° находим
ірП; + Агрп =|ж (x„t + AXlXriy + акп —j ?A-nj +
+ AyX3n - 2gyXn - 1 аЯ„^ exp (Хпх) (1 + о (1)). (4.9)
Из ле^мы 2 § 2 следует, ЧТО функция (lf>„)< + A(Ipn) является собственной функцией, отвечающей собственному числу fn(t, у). Поэтому из асимптотики (4.9) и уравнения (4.4) получаем равенство
+ A (ipn) = ^AyXn - IgvXn - j aXngJ i|)n. (4.10)
Подставив в это равенство асимптотику (3.26) при х ->-+оо и использовав формулы (3.24), (4.2), (4.4), получим уравнение
(Pn)i + 4Я* (Ъп)у = (8уХ3п - 2Я„ (gy + hy)-± аХп (g + h)J Ьп,
(4.11)
определяющее динамику коэффициента bn(t, у).
III. В силу уравнения (4.3) спектральные функции ¦ф(к, t, х, у) оператора Шрёдингера L удовлетворяют условиям (3.31) при дополнительном предположении, что параметр к изменяется в силу уравнения
Af = !«&» +-i?*- (4.12)
47 Дифференцирование уравнения LxJj = к2\|з по времени и подстановка равенств (4.1), (4.2), (4.12) приводят к уравнению
L (ij)( + Аг|)) = к2 (\|)( + А-ф). (4.13)
В асимптотике (3.31) при х-* находим (в силу уравнения (4.12))
г|)г + Ai|) = ^yik3 + ik (2gy + j agjj exp (— ікх) (1 + о (1)).
(4.14)
Поэтому из (4.13) и (4.14) следует равенство
% + AiJ) = ^yifc3 + ik (2gy + j agjj oj). (4.15)
Подставляя в это равенство асимптотику (3.31) при-ж-* -»- +0°, получаем уравнения
at — Ак2ау + а к3 + у ?ftj ак =
= ik(2{gv-hy) + ±a(g-h)y, (4.16) bt - Ак% + ^ ак3 + 1 ?/<) bh =
= ік f8yк2 + 2 {gy + hy) + ja(g + h^b. (4.17)
Уравнения (4.4), (4.11), (4.16), (4.17) полностью определяют эволюцию данных рассеяния, соответствующую дифференциальному уравнению (4.3).
IV. Обратное преобразование рассеяния определяется формулами (3.35) — (3.36). При построении А-солитонных решений полагаем b (к, t, у) = 0. В этом случае функция а(к, t, у) определяется при всех t, у формулой (3.38). Подставляя эту формулу в уравнение (4.16) и учитывая, что все функции К(t, у) удовлетворяют уравнению (4.4), получим следующее уравнение:
JV
2 (g - h)y + A a (g - h) = 2 (8 (K)y + аЯ„). (4.18)
71=1
Так же как и в § 3, полагаем g + A = 0; тогда из уравнения (4.18) по-прежнему следуют равенства (3.43). Поэтому А-солитонные решения уравнения (4.3) определяются формулами (4.4), (4.11), (3.40)-(3.43). Простей-
48 шее односолитонное решение определяется формулами (4.6)-(4.8).
Явление опрокидывания реализуется в некоторых решениях уравнения (4.4). Построенные по таким функциям /„(?, у) iV-солитонные решения уравнения (4.3) обладают всеми свойствами опрокидывающихся TV-солитон-ных решений, указанных в § 3.
V. Укажем интегрируемый матричный аналог двумерного уравнения (1.16). Пусть U(?, х, у) — матрица размера пХп, L = — дх + Ux (t, X, у) — матричный оператор Шрёдингера, оператор А определим формулой
- j А = dyL + Ldy + Uydx + j Uxy + W. (4.19) Уравнение Лакса Li = [L, А] при условии
