Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
(фхх {с' (t) фжх — ф?фху + 5фххху))ж = фхфху (1-12)
Это равенство после подстановки формулы (1.9) и в силу (<:'(?))* = 0 преобразуется к виду
(ф^с1 (— фIf (ф) + Stplf" (ф) + S(fxxf (ф)))ж = фxf (ф). (1-13)
Равенство (1.13) тождественно справедливо в си^у уравнения (1.10). Теорема 1 доказана.
III. При S = +1 уравнения (1.9)-(1.10) принимают
вид
Ф*„ = СіЄ" + С2е-ф. (1.14)
С помощью масштабных преобразований уравнение (1.14)
63 сводится к трем неэквивалентным видам:
<р*в = е", Cpxy = sh ф, <рху = ch ф. (1.15)
Первое уравнение (1.15) является уравнением Лнувид-ля и допускает полное решение в виде
Ф у) = In 2 (1.16)
(а (х) Ъ {у)У
где а(х) и Ъ (у)—произвольные функции. Поэтому согласно теореме 1 уравнение (1.8) имеет следующие точные решения:
7,а т ,А _ 1 а" (* + с (t)) а' (х + с (?)) .
V([,x, У)- 2 a,[x+c{t)) а(х + с(1))+ъ(уу
зависящие от трех произвольных функций а(х), Ь(у), c(t).
Связь уравнений (1.4) и (1.8) означает, что можно так выбрать первообразную дх1(и2)у, что функция (1.17) является также решением уравнения (1.4) при s = 1. При этом функция u(t, х, у), определенная любым из двух равенств и = д^1 (у2) ± v (1.2), удовлетворяет уравнению (1.1) (в силу тождества (1.3)).
При s = —l уравнения (1.9) — (1.10) принимают вид
<рху = С і sin ф + C2 cos ф.
Это уравнение с помощью масштабных преобразований сводится к уравнению Синус Гордона
фз-у = sin ф. (1.18)
Любые точные решения интегрируемых уравнений Клейна — Гордона (1.15), (1.18) определяют в силу теоремы 1 по формуле (1.11) точные решения уравнений (1.8), (1.4), (1.1).
IV. Укажем периодические по х нестационарные решения уравнения (1.4), имеющие вид
v(t, х, y)=a(t), I = X+ if (at +у), (1.19)
где ф(?)—произвольная дифференцируемая функция. Уравнение (1.4) для функции (1.19) принимает вид
аа' = 6а2а' - sa'". (1.20)
Отсюда после интегрирования получаем
sa =
—k {са + T'Iе*)' (1-21) где с—произвольная постоянная. Уравнение (1.21) является лагранжевым и имеет интеграл энергии
-Ja'2 + са+ «4 = Е- (1-22)
Поэтому функция а(?) определяется обращением следующего интеграла:
а
J (б"1 (2E - 2Ca1 - aat+ 4))-17?? = ? - ?0. (1-23)
°о
При 5 > 0 и при определенных значениях параметров а, с, E функция (1.23) является периодической. При s < 0 функция (1.23) при любых значениях параметров а, с, E является периодической (кроме сепаратиспых решений). Соответствующие решения (1.19) уравнения (1.4) являются периодическими функциями от ж, зависимость которых от переменных t, у определяется произвольной функцией ср(а?+г/).
§ 2. Счетное множество законов сохранения
I. Пусть функции u(t, X, у) и w(t, х, у, є) связаны соотношением Гарднера
Ux = W + EWx + E2W2. (2.1)
Отсюда следует
(и — Ew)xy =(w + e2w2)v. (2.2) Определим функцию b(t, х, у, е) формулой
Ъ =(U-Ew) у. (2.3)
Функция b(t, х, у, є) является первообразной правой части (2.2):
bx = (w +e2w2)v. (2.4)
Прямая проверка доказывает справедливость следующего тождества:
Uxt кихиху TTlUyUxx + Uxxxy
= (1 + едх + 2г2м) (wt - k(w + e2w2)wv - mbwx + Wxxy) + + (4 — A:) E2WxWxy + (2 — т) E2WyWxx. (2.5)
Из тождества (2.5) при к = 4, т = 2 следует, что если
5 О. И. Богоявленский 65 функция w(t, х, у, є) удовлетворяет уравнению
wt = i(w + e2w2)wy+ 2bwx - wxxy, (2.6)
где b(t, х, у, є) определена условием (2.4), то функция u(t, х, у), заданная равенствами (2.1), (2.3) (которые в силу (2.4) совместны), удовлетворяет уравнению (1.1).
Уравнение (2.6) в силу (2.4) представляется в следующем дивергентном виде:
Wt = 2{bw)x + (w2 — wxx) у. (2.7)
После подстановки формулы (2.3) уравнение (2.6), (2.7) принимает вид
wt = 2(w(uy - еwy))x + (w2 - Wxx)у. (2.8)
Соотношение Гарднера (2.1) разрешается с помощью формального степенного ряда
оо
W (t, X, у, є) = S Pn (t, х, у) En =
??— о
= их — UxxE + (мх,л: — ul) е2 — (Ua3oc — 2и1)хг3 +
+ ((",,: - 3 u2x)xx + U2xx + 2 ul) Ei+ ... (2.9)
Явные формулы для коэффициентов ряда (2.9) указаиы в работе [3] (см. также [6]).
Уравнение (2.8) после подстановки вместо w(t, х, у,е) ряда (2.9) превращается в равенство двух формальных степенных рядов, из которого следует счетное множество законов сохранения
dt д X ду v '
Законы сохранения (2.10) приводят к первым интегралам уравнения (1.1):
со
In (и) =ff Pn (их) dx dy, ^p- = 0 (2.11)
при условии сходимости выражений (2.11). Тем самым доказана следующая теорема.
Теорема 2. Двумерное нелинейное уравнение (1.1) имеет счетное множество законов сохранения (2.10) и первых интегралов (2.11), где дифференциальные многочлены Рп(чх) определены теми же формулами, что и для уравнения Кортевега — де Фриза.
ее Первый из законов сохранения (2.10)" (п = 0) имеет вид
Utx = 2 (UxUy)x + (и2 — иххх)у, (2.12)
совпадающий с уравнением (1.1). Простейшие первые интегралы (2.11) в силу разложения (2.9) определяются формулами
OO OO
I2 = J j ul dx dy, Ii = J J (и? с + 2i4) dr
-OO ^ -OO (2.13)
