Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
/6 = j j {ulxx — OU2Uxx + but) dxdy.
-OO
Проведенный вывод первых интегралов (2.11) основан на применении к уравнению (1.1) преобразования Гарднера (2.1). Другой метод построения локальных и нелокальных первых интегралов для уравнений, допускающих представление нулевой кривизны, развит в работах [80, 81].
II. Если в формулах (2.11), (2.13) сделать замену
Ux = V2 + ovx, о= ±1, (2.14)
то первые интегралы (2.11), (2.13) перейдут в первые интегралы двумерного модифицированного уравнения (1.5). Преобразование Миуры (2.14) после подстановки
17 = 0810+(206)"1, о = ±1, (2.15) переходит в преобразование
ux=w + ewx+ B2W2+ (4е2)-\ (2.16)
отличающееся от преобразования Гарднера (2.1) на постоянное слагаемое. Уравнение (2.6) при преобразовании (2.15)
10=(08)-^-(282)-1
переходит в уравнение
Vt = 4 V2Vy + 2vxdxl (V2)y — Vxxy — є ~2vy. (2.17)
Это уравнение эквивалентно уравнению (1.5) после замены ti = t, Xi = х, Уі = у — є~2t. Поэтому двумерные уравнения (2.6) и (1.5) эквивалентны. В частности, уравнение (2.6) также обладает счетным множеством первых интегралов.
5* 67 § 3. Представление Лакса для двумерного модифицированного уравнения (1.5)
Дальнейшая конструкция основана на следующем разложении на множители (факторизации) оператора Шрёдингера [74]:
L0=—dl+ их --- L1L = (— dx + V) (dx + v) = — dl + v2 — vx
(3.1)
L0 = — dl + ux = LLi == (dx + v) (—dx + v) = — dl + v2 + vx.
(3.2)
Здесь L = dx+ V — простейший дифференциальный оператор. В силу разложений (3.1), (3.2) наиболее естественно появляются преобразования Миуры Ux= v2 — vx, Ux = V2 + vx. Факторизации различных дифференциальных операторов использовались в работах [75—79].
В ряде случаев уравнение Лакса для оператора Lo является следствием операторного уравнения [27—29, 74]
Lt = LA + BL (3.3)
для оператора L. которое и приводит к модифицированному уравнению для функции v. Более того, уравнение (3.3) само оказывается эквивалентным некоторому другому уравнению Лакса.
Пусть L = dx + V, А и В являются кососимметрически-ми операторами третьего порядка
11
А = Adxdy + axdx + a2dv + -j alx + -j а2у, (3.4)
11
В =— 4dxdy + brdx + b2dy + -jblx + -j b2y.
Простое вычисление приводит к формуле
LA + BL = (аг + bL — Avy) dl + (а2 + Ь.г — 8vx) dxdy +
+ (aix + Y (ai + bi)x + -j(a2 + b2)y + v{ax + bJSv^dx +
I
+ (®2S + V [A2 + b2) — Avxx) dy + -J V (U1 + ^1)* +
1 11
+ j- v(a2 + b2)y + bxvx + b2vy + -j alxx + -j a2xy — Avxx r
Уравнение (3.3) в силу Lt = Vl приводит к условию равенства нулю коэффициентов при четырех дифференциальных операторах dl, dxdy, dx, dy в полученном выраже-
68 нии для LA + BL. Эти четыре условия эквивалентны Следующим равенствам:
au = 2(vx — и2)у, (Z2-='4(vx — v2) + с2, ^3 ^
Ьі = 4ув —Oi, Ъ{х = 2(vx + v2)y, b2 = i(vx + v2)— c2.
Функции a\, a2 согласно (3.5) выражаются через преобразование Миуры Ux = V2 — vx, а функции Ъ\, Ъ2 выражаются через преобразование Миуры их = v2 + vx.
После подстановки формул (3.5) в скалярную часть выражения LA + BL операторное уравнение (3.3) сводится к следующему уравнению
vt = ^V2Vy + bvx — Vxxy — c2vy, Ьх = 2(v2)y.
Это уравнение эквивалентно уравнению (1.5), так как слагаемое -C2Vy устраняется после замены переменных t\ = t, Xi = х, у\ = у + c2t. В дальнейшем полагаем C2 = 0.
Таким образом, уравнение (1.5) эквивалентно операторному уравнению (3.3) — (3.4). Представление Лакса для уравнения (1.5) следует из операторного уравнения (3.3) в силу следующего утверждения.
Утверждение 1. Если операторы AuB кососим-метрические, то уравнение (3.3) эквивалентно уравнению Лакса
Li= [L1, Ai], (3.6)
где операторы Li и Ai действуют на двухкомпонентные вектор-функции и имеют вид
Ml »)• А' - (о З" <3-7>
Действительно, уравнение (3.6), (3.7) эквивалентно двум уравнениям
L = LA + BL, Lf = -ALi - L1B. (3.8)
Второе уравнение (3.8) эквивалентно первому, так как получается из него сопряжением (транспонированием) с учетом условий Af = —A, Bi = —В. Поэтому уравнения (3.3) и (3.6) — (3.7) эквивалентны.
Из представления Лакса (3.6) получаем следствие
(LO- = ILLA1], L21= (l'0l L°t), (3.9)
которое в силу формул (3.7) эквивалентно двум уравнениям
(LiL)' = [L'L, A], (LLi)' = [LLi1 -В]. (3.10)
69 В случае L = dx + V справедливы формулы (3.1), (3.2).
Поэтому в силу формул (3.5) получаем, что оба оператора А и —В (3.4) имеют одинаковый вид
A0 «= Adxdy — 2Uydx — 4uxdy — Suxy, (3.11)
где Ux = V2 — vx для оператора А и их = v2 + хх для оператора —В. Оператор (3.11) совпадает с оператором, указанным в гл. II в представлении Лакса для уравнения (1.1) (см. формулу (1.19) предыдущей главы). Поэтому два представления Лакса (3.10) совпадают с представлением Лакса для уравнения (1.1), полученным в гл. II.
Тем самым получено второе, независимое доказательство того, что из уравнения (1.5) при двух преобразованиях Миуры следует уравнение (1.1).
Обозначим Uix = V2 — Vx и и2х = v2 + vx. Оператор Ai в силу формул (3.4), (3.5), (3.7) имеет следующий вид:
