Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
[L, А] = - 2 2 S Ciftdi (Lfi+1) + [L, A1]. (2.8) i=2 ft=l
Элементарное вычисление приводит к следующим равенствам:
di (Lft+1) = Oi (QLq+1Q-1) = Idi (Q) Q-1, Lfe+1] +
+ Qdi (L0ft+1) Q-1 = 2 Vdi (Q) Q-L
LJ=O
+
-2
+ Qdi (Lq+1) Q-1, (2.9) ^4(L) = Idf(Q)Q-1, L] + Qdf(L0)Q-1, P(L)=QP(L0)Q-1.
Уравнение (2.1) после подстановки равенств (2.8), (2.9) принимает вид
[dt (Q) Q-1, L] + Odi (L0) Q-1 = QP (L0) Q"1 + [L, A1] -S 2 ^2 Vdi(Q)Q-1LhL]-
. г—2 fe=X J4=O
-2 2 2 CiftQdi (Lo+1) Q-1. (2.10)
i=2 ft=l
Определим унитарный оператор Q как решение следующего дифференциального уравнения:
dt (Q) Q"1 + 2 S S cih І] Vdi (Q) Q-1Lfe-'' = - A1. (2.11)
і =2 k=l }=0
(Все слагаемые в этом уравнении являются кососиммет-ричеюкими операторами.) Тогда в силу уравнения (2.1), (2.10) оператор Lo удовлетворяет дифференциальному уравнению
dt (L0) + 222 Ciftdj (Lq+1) = P (L0). (2.12)
1=2 A=1
Укажем начальные данные для операторов Q и Lo при tczt в уравнениях (2.11), (2.12). Для этого рассмотрим задачу на собственные значения для операторі L: L\= fx|). Выделим непрерывные ветви собственных чисел f(t, Х2, . . ., хп). В окрестности точки p=(t, X2, .. ., Xn), в которой эти ветви не пересекаются (общее положение),
34 соответствующие им собственные функции гPf (t, Xh Xi, ... . .., хп) ортогональны в пространстве Ь2( —оо) функций от х\. При t = t определим унитарный оператор Q (t, Х2, ¦ ¦хп) в окрестности точки р так, чтобы
(Q-4/) (t, Xh X2, ..., xin) = ^f (t, Xh х2, х„), (2.13)
где собственные функции Tf/ соответствуют одной ветви собственных чисел f(t, X2, ..., хп). Функция (Q-1%) (t, Xl, х2, ..., хп) является собственной функцией оператора Lo = = Q-1LQ и в силу (2.13) не зависит от х2, ..., хп. Такое построение определяет начальные данные для операторов Q и L0 при t = t в уравнениях (2.11), (2.12).
При указанных начальных данных уравнение (2.12) имеет решение —оператор L0, который при всех t, х2, ... . . ., Xn в окрестности точки р имеет одно и то же множество собственных функций Т|)/(?, ). Соответствующие им собственные числа /(?, х2, ..., хп) в силу (2.12) удовлетворяют уравнению п N
% + 2 22c«(A + l)/ft^ = P(/) (2.14)
i=2 ft=l 1
с начальными значениями f(t, х2, ..., хп). Унитарный оператор Q (t, X2, ..., хп) определяется из уравнения (2.11) при указанных начальных значениях Q(z, х2, ..., хп). Уравнение (2.14) совпадает с уравнением (2.4), поскольку собственные числа операторов Lh Lo = Q-1LQ совпадают и Cik = Cih(2к + 2)_1. Поэтому уравнение (2.4) справедливо в окрестности всех точек р общего положения (в смысле дискретного спектра оператора L). Лемма 1 доказана.
II. Важной областью применения леммы 1 являются уравнения, допускающие представление Лакса L( = [L, А] с оператором А вида (2.2). В этом случае собственные числа оператора L удовлетворяют уравнению (2.4) с P (/) = 0:
f+2^(/)? = 0. (2.15)
1=2 1
Уравнение (2.15) является законом сохранения: из него следует, что для любой области G с границей S в пространстве К™-1 справедливы уравнения
X2, .,., Xn) dx2 ... dxn = f (Фь п) do, (2.16)
3*
35 где к — произвольное натуральное число, п — вектор нормали к поверхности S, ФА — вектор с компонентами Ф*>•(/), причем гіф«(/)/<?/ = -Af-1Fi(/). Если функция f{t, х2, ... • • хп) убывает достаточно быстро при IxiI -»- то уравнение (2.15) имеет счетное множество сохраняющихся величин
Ik = j f (t, . .., a:n) d.r2 .. . dxn. (2.17)
Kn—l
Таким образом, в силу леммы 1 для уравнения Лакса L( ¦= [L, А] сохраняются не собственные числа /(f, х2, ... ..., .Zn) оператора L, а интегралы Jft от их степеней (2.17).
Здесь возникает кажущееся противоречие с известным утверждением Лакса о сохранении собственных чисел оператора L в силу уравнения Lt = [L, А]. Объяснение этого парадокса состоит в следующем. Оператор L действует как в пространстве Hi функций, зависящих только от одной переменной Xi, так и в пространстве Hn функций, зависящих от п переменных Xu Х2, . ¦., хп, в то время как оператор А действует только в пространстве функций Hn. При доказательстве теоремы Лакса операторы LhA рассматриваются в том пространстве, где они одновременно определены, т. е. в пространстве Hn. Собственные числа f(t, X2, ..., хп) оператора L определяются в пространстве Hi и в общем случае не связаны с собственными числами оператора L в пространстве Hn, которые остаются неизменными в силу теоремы Лакса.
Простейший пример применения Основной леммы возникает, когда оператор L является диагональной матрицей с компонентами L« = /.(?, x)oi3-, а оператор A = =-F(L) д/дх. Соответствующее уравнение Лакса эквивалентно системе уравнений на собственные числа U(t, х):
Iu = F(U)Ux. (2.18)
Замечание 1. В уравнении (2.4) функции F((t), P(f) являются многочленами от / с коэффициентами cih, ак, которые являются произвольными гладкими функциями от t, х2, ..., хп. Доказательство леммы 1 переносится и на более широкие классы функций Fi(J), P(f), например, аналитические или мероморфные. Поэтому практически любое квазилинейное уравнение вида (2.4); (2.15) возникает как уравнение на собственные числа оператора L в конструкции (2.1), (2.2).
