Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
30 А — кососимметрический оператор
A = -2 (dvL + Ldv) - (иудх + дхиу) ¦ (1.19)
здесь дх = д/дх, ду = діду.
Существенно, что в представлении Лакса (1.17) — (1.19) оператор L является одномерным дифференциальным оператором. Вследствие этого, как будет показано в дальнейшем (см. § 3), уравнение (1.16) является интегрируемым методом одномерной обратной задачи рассеяния. Поэтому уравнение (1.16) вкладывается в построенный в работах [13—15] класс нелинейных уравнений, интегрируемых с помощью обратного спектрального преобразования, ассоциированного с матричным оператором Щрёдингера. Основным применением методов работ [13— 15] было открытие интегрируемого одномерного «уравнения бумерона».
Уравнение Лакса (1.17) после добавления к оператору А (1.19) оператора
A1 = у (43* - 3 (Uxdx + дхих)) (1.20)
приводит к нелинейному уравнению, которое относится к общему классу уравнений (1.3):
utx = Аихиху + 2 UyUxx — Uxxxy + к (6 UxUxx — ихххх). (1.21)
Уравнение (1.21) эквивалентно уравнению (1.16) и преобразуется в него заменой координат х' = х — уу, у' = у.
В заключение разюмируем: в данном параграфе показано, что двумерное уравнение
vt = 4 wv + 2vxdx\ — vxxy +. V [Qvvx — vxxx), (1.22)
описывающее взаимодействие волны Римана, распространяющейся по оси у, с длинными волнами, распространяющимися по оси х, допускает эквивалентное представление Лакса (1.17) — (1.19). Подробное исследование уравнения (1.21)-(1.22) приведено ниже, в § 2 и 3.
§ 2. Основная лемма
I. Существование представления Лакса с операторами LhA вида (1.18), (1.19) приводит к возникновению у уравнения (1.16), (1.21) новых свойств, отличающих его от известных ранее интегрируемых нелинейных уравнений. К таким свойствам относится наличие опрокидывающихся солитонов и явление опрокидывания в поведе-
31 нии собственных чисел оператора L, рассматриваемого как одномерный дифференциальный оператор по х, зависящий от параметров t и у. Эти свойства присущи широкому классу многомерных нелинейных уравнений, включающему уравнения (1.16), (1.21), который и изучается в данном параграфе.
В предыдущей главе были построены нелинейные дифференциальные уравнения и динамические системы, допускающие эквивалентное представление в виде операторного уравнения
L1 =P(L) +[L, А]. (2.1)
При этом было показано, что в рассмотренных случаях собственные числа / оператора L удовлетворяют уравнению/<=Р(/).
В дальнейшем уравнение (2.1) рассматривается в более общей ситуации, когда L — самосопряженный (вообще говоря, матричный) дифференциальный оператор по одной переменной х\, параметрически зависящий от времени t И дополнительных переменных X2, . . ., Xn- Например, L может иметь вид одномерного оператора Шрё-дингера
L = — dl + и (t, xv х2, ..., хп), di = д/дхі, или эрмитового матричного оператора первого порядка
т -lipi 0L4-( 0
\0 iPj V(t^i) 0
Возможны и другие типы операторов L.
Предположим, что оператор А является кососимметри-ческим (или косоэрмитовым) оператором следующего вида:
п N
А = S Fi (L) d, + A0, Fi (L) = S CihLk, (2.2) i—2 k=l
где Ao — дифференциальный оператор только по переменной х\, параметрически зависящий от t, х2, ¦.., хп, cih = = cih(t, X2, ..., хп) — произвольные гладкие функции. Оператор А (1.31), очевидно, имеет вид (2.2). Возможность применения операторов А вида (2.2) для построения (по методу Лакса) многомерных нелинейных уравнений отмечалась в работах [35,36].
32 Предположим, что функция ^(L) имеет вид
т
k
P(L)=^akLh, (2.3)
h=o
где ah = ak(t, произвольные гладкие функции.
Лемма 1. В силу уравнения (2.1) — (2.3) собственные числа оператора L удовлетворяют уравнению
4г+ 2^(/)?-* ю- (2-4)
І—2 1
Доказательство. Представим оператор L в виде L = QL0Q-1, (2.5)
где Q — некоторый унитарный оператор, действующий в пространстве 1,2(-°°, °°) функций от Х\ и параметрически зависящий от t, Х2, ..., хп. Выведем из уравнений (2.1) — (2.3), (2.5) уравнения, которым должны удовлетворять операторы Lo и Q.
В силу тождества JJdiLk-' = Lft^l + Vdl (Lh'1) справедливо равенство
= FFI 2 ljd^ - FH 2 Li^ (Lft-O-
j=0 J=O
Поэтому оператор А (2.2) можно представить в виде А = І; s (Cik 2 VdlLk4 + 2 VdlLh^cil] + A1'
г=2 k=l \ j=0 / /о
п N f k '
A1 = A0 - 2 S 2cih2 Vdi (Lft-j) - L% (Cih)), 1=2 k=l \ j = 0
где cih(t, X2, ..., xn) = cih(2k + 2)_I. Здесь использовано, ЧТО функции Cih(t, Х2, ..., хп) коммутируют с оператором L, который содержит только дифференцирование по переменной xi, но не коммутируют с операторами di = d/dxi, і = 2, ..., п. Первое слагаемое в кососимметрическом операторе А (2.6), очевидно, является коеосимметрическим. Поэтому и оператор A1 тоже кососимметрический; по построению это дифференциальный оператор только по одной переменной х\.
Справедливы тождества h
L, S L3CZjL' І—0
ft-j
= [Lft+1,di] = -<b(Lft+1). (2.7)
3 О. И. Богоявленский 33 Поэтому из представления (2.6) в силу коммутативности оператора L и функций cih(t, Х2, ..., хп) получаем формулу
