Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Богоявленский О.И. -> "Опрокидывающиеся солитоны" -> 13

Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.

Богоявленский О.И. Опрокидывающиеся солитоны — М.: Наука, 1991. — 320 c.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка): oprokidivauesoliton1991.djvu
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 97 >> Следующая


а" = аа' + C1I + с2, (3.10)

а' =±а* + ±с?> + с? + с3. (3.11)

Уравнение (3.9) после подстановки выражения (3.10) принимает вид

а (2а' -a2- m) = a(ci% + с2)+ 2сь (3.12)

39 Уравнения (3.11), (3.12), которые эквивалентны исходной системе (3.4), (3.5), являются совместными только при условиях Ci = O, C2 = O, C3 = т/2 и в этом случае совпадают с уравнением (3.6).

Таким образом, уравнение (1.21) для функции u(t, х, у) (3.2) сводится к уравнениям (3.3) и (3.6). Решения уравнения (3.6) имеют вид:

при т = б2 аф = Ъ tg Є + с], (3.13)

при т = 0 a (I) = - 2 (? - с)'1, (3.14)

при т — -V2 а(?) = —bethel? + cJ, (3.15)

a(Q=-bl\i[^l + cy (3.16)

Особые точки о, = ±Ъ уравнения (3.6) отражают наличие волны Римана (1.1) в решениях общего уравнения (1.3). Функции (3.13) — (3.15) имеют сингулярности на оси поэтому сингулярности имеют и соответствующие им решения (3.2). Функция (3.16) не имеет особенностей. Соответствующая формула (3.2) определяет гладкое решение уравнения (1.21)-(1.22). После замены X1 = -^ЪХ,

ф2 = "2 b(f приходим к справедливости следующего утверждения.

Утверждение 1. Уравнение (1.21)-(1.22) имеет точные опрокидывающиеся решения двух типов. Решения первого типа являются гладкими и определяются формулами

u(t, х, y)=-2X(t, y)th(X(t, y)x-<p(t, у)), (3.17) где X(t, у), ф(t, у) — произвольные решения уравнений Xt + 4X2Xv = 0, <р, + 4Я2'ф„ = ^K3. (3.18)

Решения второго типа являются сингулярными, имеют движущиеся полюсы первого порядка и определяются формулами

щ(і, х, y) = 2X(t, y)tg(X(t, y)x-y(t, у)), (3.19)

Xt - 4X2Xy = 0, ф, - 4А,2ф„ = — и2(t, х, y)=-2X(t, y)cth(X(t, y)x-(p(t, у)), (3.20) Xt + 4X2Xy = 0, <р, + 4Я2ф„ = 4^3.

40 Уравнения (3.18)-(3.20) для функции X(t, у) после умножения на 8Л, переходят в уравнение водны Римана (2.19) на функцию v = 4X2. Поэтому в решениях уравнений (3.18) — (3.20) также возникает явление опрокидывания фронта волны и функция X(t, у) становится многозначной при изменении времени t. Это приводит к опрокидыванию и многозначности графика функции u(t, х, у), которые наступают при изменении t, у одновременно на всей ОСИ — °°.< Я <

Динамика полюсов ?o = i|)(Z, y) = <f(t, y)X~x(t, у) сингулярных солитонных решений (3.19), (3.20) определяется уравнениями

11), + 40^ = 40^2, X1 + AaX2Kv = 0, о = ±1.

Далее мы будем рассматривать только гладкие опрокидывающиеся солитоны (3.17), не имеющие сингулярно-стей. Производные функции u(t, х, у) определяются формулами

ux(t, х, у) = —2Х2Chi"2(Xx — ф), (3.21);

uy(t, х, у) = — 2Хуй\(Хх — ф)— 2Х(хХу — ф„)с1і~2(А;г — ф).

(3.22)

Асимптотики функций и, Ux, Uy при Ixl -> OO имеют вид X —оо; и -*¦ 2Х, Ux -»- 0, и«-*- 2Ху,

(3 23)

х->-+оо: 2Я, «*-»- 0, иу->—2Ху.

Формула (3.17) показывает, что опрокидывание (возникновение многозначности) графика функции и(t, х, у) происходит одновременно с опрокидыванием графика функции X(t, у). Формула (3.21) при фиксированных t, у для каждой однозначной ветви значений X(t, у) совпадает с формулой солитона уравнения Кортевега — де Фриза. Поэтому каждому значению X (t, у) соответствует одно собственное значение -X2 (t, у) оператора Шрёдин-гера L = dx + ux(t, х, у), где в функции их (t, х, у) берется соответствующая однозначная ветвь. Таким образом, многозначность функции к(t, у) не означает появления новых собственных значений у оператора L, а соответствует многозначности функции ux(t, х, у), причем каждой однозначной ветви ux(t, х, у) отвечает прежнее число собственных значений. Это свойство верно также и для опрокидывающихся А-солитонных решений, указанных ниже.

41 Обнаруженное явление опрокидывания в решениях нелинейных уравнений (1.16), (1.21)-(1.22) является отражением поведения реальных физических объектов — например, динамики морских волн.

Формула опрокидывающегося солитона (3.17) и асимптотики (3.23) показывают, что в решениях уравнения (1.16), (1.21) нельзя ограничиться случаем функций u(t, х, у), убывающих на бесконечности \х\ вместе с производными Uv, а именно их значения следует предполагать ограниченными при \х\ При этом IuJ -»-0 при \х\ ->-<». Это обстоятельство существенно отражается на эволюции данных рассеяния.

II. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (1.21) в классе функций и(t, х, у), имеющих следующую асимптотику при \х\ -*-

u(t, х, у)-+ g(t, у), х^+ос: u(t, X, y)->h(t, у).

Для таких решений имеем ux(t, х, у)-+0, uxy(t, х, у)-*- О при \х\ ->- 00 И uy(t, X, у) gy, hy при X -*¦ rF OO. Применим к уравнению (1.21) метод одномерной обратной задачи рассеяния для оператора L = — dx + их (t, х, у), где переменные t и у входят в виде параметров. Данными рассеяния являются собственные значения дискретного спектра f„(t, у), соответствующие им коэффициенты bn(t, у), и коэффициенты а (к, t, у) и b(k, t, у), характеризующие рассеяние в точках непрерывного спектра.

В силу леммы 1 и формулы (1.19) собственные числа fn (t, у) = — Х„ удовлетворяют уравнению волны Римана

dfn ., dfn л 9K , n ,о ок\

-^--4/^ = 0, —+ AXn-= Q (3.25)

Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed