Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
A1 - — 2 (L\dv + dyhf) - ^ 01У „2J dx - dx ^ Jv в>J.
(3.12)
Поэтому в рассматриваемом случае уравнение Лакса (3.6) и эквивалентное ему двумерное модифицированное уравнение (1.5) относятся к классу уравнений с опрокидывающимися солитонами, изучавшемуся в § 2 гл. II. Согласно лемме 1 § 2 собственные числа f(t, у) самосопряженного оператора
/0 —1\ /0 1\ Li= (l 0 Jd*+ (l 0)v{t,x,y) (3.13)
в силу уравнения (1.5) удовлетворяют уравнению
U-AfU = 0, (3.14)
которое, очевидно, приводит к опрокидыванию графика функции f(t, у).
§ 4. Представление Лакса для двумерных уравнений (1.5) и (1.6)
I. В данном параграфе мы выведем двумерные уравнения (1.5) и (1.6) из следующего уравнения Лакса:
Ly = [L, AL-1 + (рдх — аЗ() L-2]. (4.1)
70 Здесь а — произвольная постоянная, p(t, х, у)—неизвестная функция. Одномерный дифференциальный оператор L имеет тот же вид, что и в работах [40, 41], посвященных уравнению Синус Гордона:
L=^01 + о), (4.2)
где и и V — неизвестные функции от t, х, у. Оператор А является матрицей, зависящей от t, х, у:
А-(: і). <4Л>
Уравнение (4.1) после умножения справа на L2 принимает вид
LvL2 = (LA - AL) L + Lpdx - рдхL + oL,. (4.4) Для указанных операторов справедливы равенства
т Ч т2 Iі і iUV
Ч*~\иу 0 J' L =^O l]0* + ^k3c uv J>
(0 — 2 Ь\ / си —Ьи-ах (d-a)v-LA-AL=-^2C 0 )дх + I (a — d)« + cK bu •— cv — dx J'
(4.5)
/— 1 0\ /0 Vx\
Lpdx — pdxL = рх ^ о ijdx — р \ Ujc о I.
Операторное уравнение (4.4) после подстановки выражений (4.5) эквивалентно следующей системе уравнений:
Vy--26, -2с, (4.6)
bx=-{d — a)v, cx = (d — а)и, (4.7)
ая — рх = bu + cv, dx + рх = —bu — cv, (4.8)
UWv = cv2 + buv — OxV + avt — pvx, (4.9)
uvuv = bu2 — cuv + dxu + OLUt — PUx. (4.10)
Уравнения (4.8) эквивалентны уравнениям
(а - Р)* = Ьи + cv, (a + d)x = 0. (4.11)
Уравнения (4.9), (4.10) после подстановки уравнений (4.6) и (4.8) принимают вид
av,=(pv)x, a.Ut -= (ри)я. (4.12)
71 В итоге получаем, что уравнение (4.4) эквивалентно системе уравнений (4.6), (4.7), (4.11), (4.12). Эта система уравнений при предположении
и = kv, с = kb, к = const (4.13)
сводится к пяти уравнениям
Vv = —2b, bx = (d — а) V, (а — р)х = 2kbv,
(4 14)
(a + d)x = 0, avt=(pv)x.
Из первых четырех уравнений (4.14) получаем выражение функций а, b, d, р через функцию v:
a = (Av)^1Uxy + у, b=--j vy, d =—(Auy1Vxy + у,
(4.15)
P = кдх 1 (Wy) + (Av) 1 vxy + у,
где к — произвольная функция от t, у. Подставляя выражение для функции р (4.15) в последнее уравнение (4.14), получаем окончательное уравнение для функции v(t, х, у):
avt = к (vdZ1 (wy))x + j- Vxxy + у (t, у) vx. (4.16)
Проведенные построения доказывают, что уравнение (4.16) эквивалентно операторному уравнению (4.1) — (4.3) при условиях (4.13), (4.15). При к> 0 уравнение (4.16) эквивалентно уравнению (1.6). В этом случае формулы (4.1) — (4.3) определяют представление Лакса для уравнения (1.6). При к < 0 уравнение (4.16) эквивалентно уравнению (1.5). .Таким образом, для модифицированного двумерного уравнения (1.5) получено второе представление Лакса (4.1)-(4.3). При к = 0 уравнение (4.16) является линейным:
I
CCVt = Vxxy + У (t, у) Vx. (4.17)
При к = — 1 оператор L (4.2) является кососимметриче-ским. При к = 1 оператор L (4.2) не обладает симметрией. В следующем параграфе указано представление Лакса с эрмитовым оператором L для уравнений (1.5), (1.6), (4.16).
72 § 5. Представление Лакса с эрмитовым оператором L
Возьмем эрмитов оператор L в виде
IiP1 0 \ ,о 1\
L = ^ 0 iP2)d* + v[ 1 Oy' (5-1)
где V (t, х, у)—вещественная функция, рі и р2— вещественные постоянные. Косоэрмитов оператор А выберем в виде
А = - а (dyL2 + Шу) + і (A0Sx + дхА0) + iw (J J), (5.2)
где а — вещественная постоянная, w(t, х, у)—неизвестная вещественная функция, Ao — эрмитова матрица, зависящая от t, X, у:
!а — ic\
А0 = (гс ь J. (5.3)
Предположим, что операторы L и А удовлетворяют уравнению Лакса
L = IL1A]. (5.4) Уравнение (5.4) в силу тождества
— [L, dyL2 + L2<?v] = LyL2 + L2Ly (5.5)
является равенством двух эрмитовых операторов, содержащих только дифференциальные операторы Uxi дх. Приравнивая в уравнении (5.4) коэффициенты при операторах дх, получаем формулы, выражающие функции а, Ъ, с, w через функцию v:
а =--Zl— д~г (V2)v, Ъ = — дх1 (V2)v.
P1-P2 v п Pi~P2 у'
Р\+Р\. с = а-Vv,
Pi^P2 У
w JPi +P*) (iPiP*-Pt-Pi) v ,
2 (P1-P2)2 ^ + 20tK^ ^ (V)y-
(5.6)
При выполнении условий (5.6) операторное уравнение (5.4) эквивалентно следующему уравнению на функцию
73 v(t,x,y):
Vt = Ot1 (Vxxy + ? (vdx1 (v\)x),
2 P21Pfr B 2 (5J)
Таким образом, уравнение (5.7) допускает эквивалентное представление Лакса с эрмитовым оператором L (5.1).
Уравнение (5.7), очевидно, эквивалентно уравнению (4.16). При > 0 уравнение (5.7) эквивалентно уравнению (1.6), при рірг<0 уравнение (5.7) эквивалентно модифицированному уравнению (1.5). Поэтому оба уравнения (1.5), (1.6) допускают представление Лакса (5.4) с эрмитовым оператором L (5.1).
