Опрокидывающиеся солитоны - Богоявленский О.И.
ISBN 5-02-014620-Х
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (2.15) для функций / вида
j(t, X2, ..., Xn) = f(t, Х), X = C2X2 + ... + CnXn
36после введения обозначения v = C2F2 (/)+... + cnFn (/) и умножения на dv/df переходит в уравнение волны Рнмана
Vt+ Wx = O. (2.19)
Во всех не постоянных решениях уравнения (2.19) возникает явление опрокидывания (перехлеста) фронта волны v(t, X) и решение становится многозначным.
Уравнение опрокидывающейся волны Римана (2.19) допускает представление Лакса Ьг = [Ь, А] со скалярным оператором L = y(f, х) и дифференциальным оператором A = v(t, х)д/дх и является простейшим примером применения леммы 1.
Важнейшим свойством квазилинейных дифференциальных уравнений (2.4)и (2.15) является возникновение многозначности решений, которую, однако, исходя из аналогии с газовой динамикой, часто исключают введением разрывных решений — ударных волн. Условия сшивки решений на разрыве обобщают известные условия Рэнки-на — Гюгонио [169].
Замечание 2. Из теории одномерных интегрируемых уравнений известно, что структура солитонных решений таких уравнений связана с собственными числами соответствующего оператора L. Двумерные уравнения, допускающие операторное представление вида (2.1) — (2.2), и подобные им уравнения более высокой размерности также обладают солитонными решениями, структура которых связана с собственными числами f(t, х2, ... ..., хп) оператора L. Существенно, что ввиду указанного поведения собственных чисел многомерные солитоны, как и функции f(t, х2, ..., хп), являются опрокидывающимися (при P (/)=0). Такие опрокидывающиеся солитоны будут построены ниже для нескольких двумерных уравнений. Следуя аналогии с газовой динамикой, можно рассматривать разрывные решения f(t, х2, ..., хп) квазилинейного уравнения (2.15). Соответствующие им солитон-ные решения также имеют разрывы, являющиеся ударными волнами, и поэтому будут называться в дальнейшем ударными солитонами.
III. Пусть х\, х2, ..., хп) — собственная функция оператора L, отвечающая собственному числу f(t, xi, ...
. • >, Xn) .
Лемма 2. В силу уравнений (2.1) — (2.3) справедливо уравнение
L (If)i + Аг|з) = /(г|з( + A^). (2.20)
37Доказательство. После дифференцирования равенства Lifi = /if- по времени находим
Lfif + Lipi = /(if) + /ірг.
Заменяя здесь L, и /, в силу уравнений (2.1), (2.4), получаем уравнение
п
L (Ij)i + Лір) = - 2 Fi (t) IP + /tp, + A (/IP). (2.21)
г = 2 1
Последнее слагаемое в силу формулы (2.2) и ввиду того, что функция f(t, ?2, • • •, Xn) не зависит ОТ Xl, имеет вид
п
A (/IP) = /А (IP) + 2 Fi (/) ^ ?. (2.22)
i=2 1
Поэтому из равенств (2.21), (2.22) следует уравнение (2.20). Лемма 2 доказана.
Таким образом, функция ірг + Aip в силу операторного уравнения (2.1) также является собственной функцией оператора L. Лемма 2 в дальнейшем будет использоваться (так же, как она используется всегда для операторного уравнения Лакса) при применении метода одномерной обратной задачи рассеяния.
Замечание 3. Данные рассеяния для оператора L (їв тех случаях, когда они определены) в силу уравнения
(2.1)-(2.2) удовлетворяют линейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка по переменным t, X2, . ¦., хп. Эти уравнения в ряде случаев допускают полное решение. Соответствующие уравнения, эквивалентные операторным уравнениям (2.1) —
(2.2), интегрируются методом обратной задачи рассеяния, связанной с оператором L.
§ 3. Опрокидывающиеся солитоны и ТУ-солитонные решения
I. Уравнение (1.21)-(1.22) допускает представление Лакса (1.17) с оператором А вида (1.19). Поэтому к уравнению (1.21) — (1-22) и собственным числам соответствующего оператора L (1.18) полностью применима лемма 1 из § 2, согласно которой собственные числа f(t, у) удовлетворяют уравнению волны Римана
ft- 4//, = 0. (3.1)
38Этот результат является весьма естественным, учитывая физический смысл уравнения (1.21) — (1.22) — взаимодействие волны Римана, распространяющейся по оси у, с длинными волнами, распространяющимися по оси х.
Построим солитонные решения уравнения (1.21), которые будем искать в виде бегущих волн
u(t, X, y) = K(t, у)а{1), l=K(t, y)x-y(t, у), (3.2)
где K(t, у), ф(?, у), а(?)— неизвестные функции. После подстановки функции (3.2) в уравнение (1.21) нетрудно убедиться, что функции K(t, у) и ф(?, у) обязаны удовлетворять уравнениям
Kt = TnK2Ky, ф, = т (К2фу — jK3), (3.3)
где т — некоторая постоянная. При выполнении этих условий уравнение (1.21) для функции u(t, х, у) (3.2) сводится к следующим двум уравнениям относительно функции а (?):
2а"' = аа" + 4а'2 — та', (3.4)
aIV = 6а'а" — та". (3-5)
Покажем, что полученная система двух уравнений совместна и эквивалентна одному уравнению
2 а' = а2+ т. (3.6)
Действительно, проинтегрируем уравнение (3.5) по получим
а"'= За'* — та'— c1. (3.7)
Вычтем из уравнения (3.4) уравнение (3.7) и затем вычтем удвоенное уравнение (3.7), получим
a"' = (aa')'+ C1, (3.8)
аа" = 2а'2 — та' — 2 C1. (3-9)
Интегрируя уравнение (3.8) два раза по находим