Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
необходимо провести аналитическое дифференцирование функции Ь. Заметим, что при больших значениях п эта задача становится очень трудоемкой. Именно в таких задачах при больших п используют системы аналитических вычислений на ЭВМ.
Для аналитического дифференцирования необходимо знать таблицу производных элементарных функций и правила дифференцирования. Все это входит в курс высшей математики.
Ах) =АХ о) +^-уг (* - *о) {х-х0)2 + ...
л =7(*1, ик»,
Я = Ф;(УьЛ. А
186
\
V,
5.3.10. Операции с матрицами и векторами. Конечное число матричных и векторных операций представляет собой простые комбинации элементарных арифметических операций. Например, сумма двух прямоугольных матриц
A=(aiJ), B=(buj), С=(си), 1</<л,
С=А+В, ciJ=aiJ+biJ; произведение двух прямоугольных матриц
A=(aUj), В=(ьи), 1 </'<«, 1<г<и, 1 </'<?,
п
С=АВ, си}= 2 aisbs J,
s= 1
произведение квадратной матрицы A = (aitj), на вектор
ЛГ = (х?), 1
п
У = Ах, у,= 2 а{ jXj
7=1
и т. д. Исключением является операция обращения квадратной матрицы А с detA ^0, аналитические методы выполнения которой рассматриваются в п. 5.3.11.
Если элементы матриц и векторов — числа, то конечное число операций с матрицами и векторами следует отнести к численным методам. Если же допускается бесконечное число операций, то в этом случае могут применяться аналитические методы. Важным классом бесконечных процессов с матрицами является процедура определения функций от матриц рядами.
Для определения сходимости последовательности матриц и матричных рядов напомним понятие нормы.
Пусть имеется л-мерное пространство Еп. Если для любого вектора хеЕп существует число ||х|| такое, что:
1) ||а*|| = |а| ||х|| для любого числа х;
2) 11*+.уК1М1 + Ы1 Для любых х, уеЕп;
3) || х || =0, если х = 0,
то || х || называется нормой вектора х = (х, ..., х„). Например, нормой вектора х являются следующие:
а) евклидова норма ||х||2=( Xх?
\i=l
б) IIх||х = S |Х,|;
i= 1
s) II -V|| оо = max (|xf|).
1
Пусть А — матрица, х—любой вектор Еп, ЦхЦ^О, нормой матрицы || А || называется наименьшее из чисел с в неравенстве
II Ах ||<с || х ||.
187
В зависимости от применяемой нормы вектора будут получаться различные значения нормы матрицы. Из определения || А || имеем
IIЛхКМН ИхII.
В дальнейшем будем применять норму вектора || х || ^ и опускать индекс оо:
|| х || = тах (|х,|).
Соответствующая этой норме матричная норма || А || может вычисляться по элементам ^ следующим образом:
М| = тах(? кД’
Определим последовательность матриц {5'(Л)}, задавая пхп числовых последовательностей
' к= 1,2,3,....
Последовательность {*5(Л)} сходится к матрице 5 с элементами 5^, если сходятся пхп числовых последовательностей:
ПРИ к-^со
или
|| 5(к) —5||->0 при к-+ оо.
Напомним определение собственных чисел Х{ и собственных векторов ех матрицы А. Собственные числа ^(^4) матрицы А и соответствующие векторы удовлетворяют равенству
Ае1 = Х((А)е1, 1 е(фО.
Пусть функция /(X) разлагается в степенной ряд в круге сходимости |А,-Х0|<г:
/(Х)= ?
1 = 0
где а{—числовые коэффициенты (возможно, и комплексные). Сопоставим этому ряду последовательность частичных сумм—матричную последовательность
?<*>=? а({А-Х0Еу. (5.3.9)
1 = 0
Теорема 5.1. Для сходимости 8{к)^>8 необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения Х{ (А) лежали внутри круга сходимости \ Х( (А) — >,01 < г.
Пусть выполнено условие теоремы 5.1; тогда 5'(к)->5', т. е. сходится матричный ряд
Я= I а((А-Х0ЕУ;
1 = 0
188 \
V,.
его сумму (матрицу 5) обозначают /(А),
00
/(А)=Ха1(А-Х0?у.
1 = 0
Так по функции /(х) определяется функция / от матрицы А, которая обозначается /(А).
Для применения теоремы 5.1 важно уметь оценивать расположение собственных значений ^(А) на комплексной плоскости. Простейшую оценку можно получить из следующей теоремы. Теорема 5.2. Собственные числа ^(^4) имеют оценку
пшх^МКМИ. (5.3.10)
Доказательство. Из определения собственных значений и векторов имеем
Ае1 = Х1(А)е1.
Отсюда для любого /
II ле;|| = имлк.||=1Мл)1И е,1
С другой стороны, по определению нормы матрицы,
II ||ев||.
Сравнивая два последних соотношения, получаем (5.3.10).
Например, в круге сходимости |А-|<1 имеет место разложение
00
/(*.)=(!X.
1 = 0
Пусть имеем матрицу А
0,3 -0,1
А ‘ -0,1 0,2 Определим || А || =0,4. Используя (5.3.10), находим
шах \\ [А) |^0,4.
00
По теореме 5.1 матричный ряд ? А1 сходится к сумме—матрице (Е-А)-':
00
{Е-А)~1= X А‘.
i = 0
Если радиус сходимости для /(А.) равен бесконечности, то можно получить функцию f(A), определенную для любых матриц А. Имеем
0° 1 00 / _ 1 \ I 00 1
еА=У La1- cosА = У 7-Т7-А2i; shA=Y7-±-vA2i+1.
i=o '! ;=о (2')! 4(2i+1)!
189
5.3.11. Решение систем линейных уравнений. Как уже упоминалось в п. 5.1.3, аналитическим методом решения систем линейных уравнений
Ах = Ь,
(5.3.11)
где А = (а( ), 1</,у<л, Ь = (Ьи ..., Ьп), х—вектор неизвестных
х = (хи ..., л;и) с определителем ёеЫ^О, является правило Крамера. Однако для больших п оно неприменимо, так как становится громоздким.
Другим аналитическим методом решения системы (5.3.11) является формула Фробениуса для обращения блочных матриц.
