Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
в точке х+е В функция /(х) достигает минимума или максимума, в этой точке
^-(хи ..., х„)=0, ?(х1г ..., *„)=0. (5.3.24)
Соотношения (5.3.24) дают уравнения для определения искомых точек экстремума. Затем следует проверить знак второго дифференциала я?2/ в дочках эстремума. Если ^2/>0, то в этой точке локальный мйнимум, если с12/<0к—максимум. Если локальных минимумов или максимумов несколько, то из них выбирается точка х*, которая доставляет наименьшее значение /(х*); эта точка называется точкой глобального минимума, аналогично определяется точка х* глобального максимума.
Рассмотрим случай, когда /(х) является следующей функцией:
п п
/(*)= Е аих1х)+ Е ъ^+с,
1,7=1 1=1
а1р Ъь с—вещественные константы, т. е. /(х)—сумма константы
п п
с, линейной формы ? Ь1х{ и квадратичной формы ? а^рсрс^ 1=1 и= 1
где А(а^)—симметричная матрица. В этом случае уравнения (5.3.24) в матричной записи имеют вид
Ах + Ь = 0,
где Ь=(Ьи ..., Ь„).
Допустим, что систему линейных уравнений можно решить аналитически. Тогда остается проверить знакоопределенность квадратичной формы, поскольку </2/> 0 тогда и только тогда, когда квадратичная форма положительно определена.
Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были положительны:
аХ1 а12 >0, ... а11 • ;; «м >0.
а21 а22 <*пЛ .' ’’ ап,п
5.3.17. Решецие обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Задача Коши. Многие задачи естествознания могут быть сформулированы как задача Коши для ОДУ. Определение поведения механической системы во времени с заданными начальными условиями и функцией Лагранжа, а также концентраций реагирующих веществ с заданными уравнениями химической кинетики и начальными концентрациями и многие другие проблемы сводятся
200
к задаче Коши для ОДУ. Часто роль независимого переменного, обозначаемого нами х, играет время.
Задача Коши для системы ОДУ формулируется следующим образом: требуется найти вектор-функцию у(х) = (у1(х),у2(х),..., ..., у„(*)), непрерывно дифференцируемую на интервале я^лг^б, удовлетворяющую системе уравнений
^=А{х, уи у2, у„), (5.3.25)
и начальным условиям
у,(а)=у?. (5.3.26)
Заметим, что условия (5.3.26) могут быть заданы в любой точке
интервала [я, Ъ ], важно, чтобы все компоненты у (х) были заданы
в этой точке.
Известны условия, обеспечивающие существование и единственность решения задачи Коши, например такие: если /(х, у) непрерывна в некоторой окрестности В точки (я, у0) и существуют в В ограниченные
Я ?
производные —1- (х, у), 1 ^ /, ] < я, то для достаточно малых интервалов
ду}
[я, Ь] ((6—я) мало) существует единственное решение задачи Коши.
Условия, приведенные выше, а также им аналогичные обеспечивают лишь локальное существование непрерывно дифференцируемого решения.
Простой пример задачи Коши
1=1+г\ уЫ-0,
имеющей решение у = 1%х, показывает, что непрерывно дифференцируемое решение существует лишь на интервале (0, л/2), так что локальные условия существования имеют небольшую практическую ценность.
Для линейных систем ОДУ
Т-= ? аМУ}+Ш (5.3.27)
аХ 7 — 1
с непрерывными функциями (х), (л:) на интервале [я, Ъ ] задача
(5.3.27), (5.3.26) имеет единственное решение для любого интервала [а, Ь ] (глобальное существование решения). В этом факте заключается глубокое различие между линейными и нелинейными ОДУ общего вида.
Существует большое число аналитических приемов решения частных ОДУ, которые можно найти в [11]. Рассмотрим только методы, применимые для широких классов ОДУ, а именно:
1) систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами;
2) систем линейных уравнений с переменными коэффициентами;
3) систем нелинейных уравнений.
201
1) Рассмотрим задачу Коши
(5.3.28)
Уі{а)=У°,
где вещественная матрица А = (аи) постоянна. Аналитическое решение этой задачи можно записать по аналогии со скалярным уравнением в виде
где еАх—матричная экспонента (см. п. 5.3.10), у°=уи уъ •••> Уп>
Однако аналитическое представление еАх через элементы матрицы А в конечном виде возможно лишь для матриц простой структуры, в частности, диагональных. Поэтому систему (5.3.28) предварительно приводят к системе с матрицей простой структуры.
Предположив, что все собственные значения матрицы А различны, обозначим вещественные собственные значения к;
комплексные у*=а1 <(л —?)/2. Тогда существует невы-
рожденная вещественная матрица Т такая, что замена
V (У)=еліх и)>'0+1 еЛ(л' “’/(я) (Ь\
(5.3.29)
а
/ЛМЛ (4 —/Л5))-
у=Тг
приводит (5.3.28) к системе уравнений
^=Т~1АТг+Т-1/=Вг+Т“ V
(5.3.30)
с матрицей В простой структуры вида
о
в=
0
аи-/к/2ри-*/2
~^п-к/2(Хп-к/2^
для которой матричная экспонента легко определяется:
... о
Решение (5.3.30) с начальным условием
z{a)=T-ly° записывается аналогично (5.3.29):
г (х)=ев(х~а) Т~1 у 0+ { eB(x~s) Т~ V(*) ds
а
с известной матричной экспонентой qBx, а отсюда искомое решение у(х) находится умножением на Т:
у (*) = Тев(х~а) Т~1у°+ f TeB(x~s) Т~ '/(s) ds. (5.3.31)
а
Если неоднородность f(x) такова, что интегралы в (5.3.31) берутся аналитически, и матрица Т известна, то формула (5.3.31) дает аналитическое решение задачи Коши (5.3.28). Для применения формулы (5.3.31) должна быть решена задача определения собственных значений матрицы А, которая, как известно, для больших п аналитически практически неразрешима.
