Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
В более общей форме рекомендуется переход к параметрическому представлению решений
^ = ф(і, г), Х = \|/(і, г),
который при надлежащем выборе ср, \|/ может упростить вычисления в задаче.
Во многих технических задачах приходится решать уравнение Лапласа
А Ф = 0, Д =
д д дх2~^~ ду 2
в некоторой области В с условиями на границе В. Имеется много методов решения этих задач, но не следует забывать и старый метод конформных преобразований (фактически замен переменных) области О на другую, например единичный круг, для которой известно аналитическое решение. Тогда решение исходной задачи сводится к поиску замены переменных
*=*(.?, г), у=у& /).
Методом конформных преобразований великолепно владел советский математик М. В. Келдыш (1911 —1978), который
177
в 40-е годы решил сложные задачи аэродинамики, используя этот подход.
Итак, математическая формулировка технической задачи не должна рассматриваться как объект, не подлежащий изменениям. Наоборот, задачу следует с помощью эквивалентных преобразований привести к виду, наиболее удобному для ее решения.
•5.3. Аналитические методы
5.3.1. Определение. Выше отмечалась важность аналитических * методов в практике вычислений. Мы будем понимать под аналитическими методы решения задач, представляющие решения через элементарные щт специальные функции, для которых могут быть вычислены значения требуемой точности по имеющимся на ЭВМ программам или по таблицам, с применением бесконечных процессов, предельного перехода и арифметических операций над числами. На практике, естественно, бесконечные процессы аналитических решений заменяются конечными с оценкой вносимой при этом погрешности вычисления точного решения.
Приведем простой пример, когда известное аналитическое решение не может быть использовано в вычислениях. Пусть необходимо решить задачу
0, уЩ-0. |(0)=1,
Решение может быть записано в виде
^ у = ътх.
Представим, что требуется решить поставленную задачу с точностью до 20 знаков после запятой. Тогда, например, если на ЭВМ вычисления с двойной точностью дают не более 17 знаков после запятой, заключаем, что аналитическое решение у = $тх— всего лишь символическая запись ответа. Для вычислений с указанной точностью такое решение неприменимо.
5.3.2. Вычисления с элементарными функциями. Если решение задачи выражаются через элементарные функции (у/х9 е*, втд;, 1п л: и т. п.), то при вычислениях необходимо соблюдать два правила.
1) Значения аргумента функций с ограниченной областью определения должны проверяться на принадлежность этой области. Например,
если лс:>0, то у = 1пх,
иначе—вывод сообщения, что л;<0.
2) Значения функций в окрестности точек, где требуется вычислять предел, раскрывая неопределенности вида
—, 0 *оо, оо — оо, 0°, оо°, I00,
О оо
178
\
должны вычисляться по формулам, где эти неопределенности уже раскрыты. Например, вычислять:
У = -
БШХ
-1 <х< +1,
следует в зависимости от требуемой точности по формулам
БШХ
1“+ 0(х4), |х|<8,
где 5—малое число, определяемое точностью вычислений.
Необходимо обратить внимание на область значений функций, участвующих в вычислениях. Если значения выходят за пределы допустимых чисел для ЭВМ (слишком большие по модулю), то счет прекращается аварийным остановом и выдачей на терминал соответствующего сообщения (переполнение).
Эта ситуация часто может быть устранена проведением соответствующего масштабирования в задаче. Пусть, например, необходимо вычислить с некоторым шагом по х
}>(х)=е*, О^х^ЮО.
Учитывая, что для у значения в ЭВМ не должны превышать 1019, будем вычислять функцию у(х) по формулам
_ (Vе, 0<х^50,
•У~ (?е*_50, 50<х<100,
с масштабирующим множителем к = е50 (без умножения на ЭВМ кех~50).
Кроме того, выход чисел за допустимые пределы устраняется переходом к другим координатам заменой переменных. В координатах 2, х, где 2 = 1п у, исходная функция записывается в виде
г(х) = х, 0<х^100,
и трудности вычисления г(х) на ЭВМ устранены.
Аналогичная проблема возникает, когда числовые значения слишком малы по модулю (меньше ~10-19). В этом случае счет не прекращается, но такое число заменяется нулем. Поэтому результат вычислений на ЭВМ выражения
у = ?~Х?Х12?Х12
в точке х= 100 есть нуль, а не единица, так как первый сомножитель заменится нулем. Устранение слишком малых чисел из вычислений осуществляется, так же как и слишком больших чисел, масштабированием и заменой переменных.
179
5.3.3. Вычисление специальных функций. Если аналитическое решение задачи выражается через специальные функции (57(х), /0(х) и т. п.) и в библиотеке программ есть программы их вычисления, то обращение к ним не отличается от вычислений элементарных функций.
Если же в библиотеке отсутствует соответствующая программа, то следует рассмотреть два возможных варианта организации вычисления. Первый заключается в том, чтобы ввести в память ЭВМ таблицу этой функции в интересующем нас диапазоне значений аргумента. Затем вычисления осуществляются по таблице с помощью интерполяции. Второй вариант состоит в представлении этой функции через имеющиеся в библиотеке элементарные и специальные с заданной точностью в аналитическом виде, а затем программировании полученных формул. Различные приближения для специальных функций представлены в [22, 23].
