Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Боглаев Ю.П. -> "Вычислительная математика и программирование " -> 65

Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.

Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование — Высшая школа, 1990. — 546 c.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка): vychmatiprog1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 168 >> Следующая

Определим блочную матрицу. Пусть дана прямоугольная матрица
А = (аи), 1 1<у<л.
Представим ‘ту же самую матрицу в виде
А = (АЯГ), 1^</,
где каждый элемент Ая г может быть прямоугольной матрицей. Например,
А =
м,1
*1,2
«2,1 а2,2
**3,1
1^4.1
“3,2
«4,2
*1,3
*1,4
*1,5
а2,Ъ а2,4 «2,5
где
*ід =
^2,1 —
1 2 1 «з,з
2 1 «4,3
«1,1 а1,2
/*2,1 «2,2,
«3,1 а3,2
/*4,1 «4,2,
«3,4
«4,4
*3,5
4,5.
^і,і ^1,:
2,1
А
2,2,
(5.3.12)
^2,2 —
«1,3 «1,4 а1,5
/*2,3 а2А «2,5,
аз,з аЗА «3,5
«4,3 «4,4 «4,5,
Действия над блочными матрицами производятся по тем же правилам, как и в случае, когда вместо блоков имеются числа. Необходимо только, чтобы разбиение на блоки было одинаковым. Пусть имеем матрицу В = {Ь^)9 1^/^т, 1<у^я, разбитую на блоки тех же размеров, что и А, т. е.
В=(В9'Г), 1^4^/, 1<г<5.
Сумма С в блочном представлении получается сложением соответствующих блоков
С=А + В=(АЧ'Г+В(1'Г).
Для умножения блочных матриц А и В необходимо, чтобы все горизонтальные размеры в разбиении А совпадали с соответствую-
\
190
V
щими вертикальными размерами в разбиении В. Тогда формула для блочного представления
с=Кг)= I \квКг
к= 1
аналогична формуле для матриц, состоящих из чисел. Пусть имеем матрицу
В=
Г*і,і *1,2 *1,3 *1,4 *1,5 ^
*2,1 *2,2 *2,3 *2,4 *2,5
*3,1 *3,2 *3,3 *3,4 *3,5
*4,1 *4,2 *4,3 *4,4 *4,5
1*5,1 *5,2 *5,3 *5,4 *5,5 ]
(Віл
\Вгл
(5.3.13)
где
*2,1 ~
*і,і
*2,1
*3,1
*4,1
*5,1
*1,2
*2,2
*3,2
*4,2
*1,3
*2,3
*3,3
*4,3
'5,2 ^5,3
*1,2 —
*2,2 —
*1,4 *1,5
*2,4 *2,5>
'*3,4 *3,5
*4,4 *4,5
4 *5,4 *5,5
При таком разбиении матриц А, В блочное представление матрицы С=АВ, равное произведению (5.3.12) и (5.3.13), находится по формулам
^1 1 Сх 2\ / ^1Д *1,1+^1,2 *2,1
^ Су 1 с
С—
2,1 -2,2/ \А2лВиі+А2і2В2Л ,
Представим формулу Фробениуса обращения блочной матрицы. Пусть в (5.3.11) матрица А—квадратная, АеХАф0 и разбита на блоки
А
= (А1Л
и,і
^1,-
*2,2,
матрица А1Л-
- квадратная, ёеЫ1Д7*0. Определим матрицу
* = ^2,2-^2,1^1,1) 1^1,2-Предположим, что А&ВФ0. Тогда блочное представление обратной матрицы А~1 задается формулой Фробениуса
-
-В-1А2л(АІЛ)~і I В'
которую можно проверить прямым умножением матриц А и А в блочном виде.
Решение исходной системы уравнений (5.3.11) получается умножением блочной матрицы А~х на вектор правых частей, разбитый на блоки в соответствии с разбиением (А~1).
191
Главное достоинство формулы Фробениуса состоит в том, что обращение матрицы размерности п сводится к двум обращениям матриц А1Л и В меньшей размерности, а это может позволить найти аналитическое решение (5.3.11).
Можно продолжить процедуру обращения Фробениуса, разбивая на блоки матрицы А1Л и В и т. д., но, как обычно, с каждым шагом увеличиваются трудности, поскольку приходится манипулировать громоздкими формулами.
Например, матрицу 16-го порядка за три шага можно свести к обращению матриц 2-го порядка, для которых легко применить правило Крамера и, таким образом, получить при условии выполнимости этих шагов аналитическое решение системы линейных уравнений (5.3.1|), выраженное через элементы матрицы А и вектора Ъ.
Как отмечалось выше, решая систему (5.3.11), необходимо знать, обращается или нет в нуль определитель матрицы А, Ахд, В, Матрица А называется вырожденной, если определитель с1еЫ = 0, и невырожденной, если ёеЫ^О.
Иногда можно по элементам матрицы легко определить, что матрица А невырождена. Это случай диагонального преобладания Адамара.
Теорема 5.3. Если для матрицы А выполняются п неравенств К**1> Е КД (5.3.14)
7=1
то матрица А невырождена.
Доказательство. Допустим противное: при выполнении (5.3.14) <1еЫ = 0. Тогда существует ненулевой вектор лг = (лг1? ..., л;и) такой, что
и
Е Я?,7*7 = 0’ 1</<И.
7 = 1
Выберем число к, соответствующее шах |*,-| = |**1>0. Из последнего равенства для выбранного к псшучаем
п
^к,к^к Е ^к,]^р
7 = 1 ]фк
откуда
п п
I ак,к I I ** I ^ XI аК7 I I *7 I ^ I ХЪ I Е I акЛ I*
7=1 7=1
7>Л 7>*
Сокращая на | лгЛ |, получим противоречие с (5.3.14). Теорема доказана.
Обозначим А' транспонированную матрицу к А, А' = (а^), 1^У,Так как
ёеЫ = с1е1 А',
192
\
то достаточные условия Адамара (5.3.14) для строк, заменяя А на А\ могут быть преобразованы в условия для столбцов. Матрица А невырождена, если
К|1>1М. 1
}=1
Условия Адамара перенумерацией строк (столбцов) можно сформулировать в виде &е1АФ 0, если в каждой строке (столбце) А имеется преобладающий элемент и эти элементы расположены в различных столбцах (строках).
Пример. ёеЫ^О для следующей матрицы:
А =
15 1 2-4
2 3 -10 4
-17 0 1
11 2 10
15> 1 +2+4, 10>2 + 3+4, 7>1+0+1, 10> 1 + 1 +2.
Те же элементы (15, —10, 7, 10) являются преобладающими и по столбцам.
5.3.12. Определение собственных значений и векторов. Аналитическое определение ^(^4) собственных значений матрицы А и соответствующих собственных векторов е{ в конечном виде для произвольных матриц А порядка п^5 невозможно. Это следует из того факта, что Х( удовлетворяют алгебраическому уравнению п-й степени
Аа(А -ХЕ) = 0,
Предыдущая << 1 .. 59 60 61 62 63 64 < 65 > 66 67 68 69 70 71 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed