Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
которое в развернутой записи имеет вид
Хп-\-(1]Хп 2-Ь^ А,-Ь =0, (5.3.15)
а (5.3.15), как уже упоминалось, в радикалах неразрешимо при 5.
Поэтому аналитические методы нахождения собственных значений и векторов, т. е. их определение через элементы матрицы А, существенно зависят от п.
Для 1<и^4 можно использовать известные формулы для корней Х( алгебраических уравнений, а затем аналитически решить систему линейных уравнений
Ае( = Х& (5.3.16)°
и определить соответствующие собственные векторы.
Для п ^ 5 аналитические решения могут дать методы возмущений (см. 5.4).
Однако если отказаться от желания найти точные формулы для Х( и ограничиться поиском их оценок или, как говорят, решать задачу локализации собственных значений, то здесь имеются простые аналитические методы для произвольных порядков матрицы А. Часто в технических задачах достаточно иметь именно оценку для Хь а не точные значения. Например, в задачах устойчивости дифференциальных уравнений, систем
7 Ю. П. Боглаев 193
автоматического управления определяются знаки Яе^, а отсюда делается заключение об устойчивости без точного определения А).
Критерии локализации собственных значений могут применяться и для задачи локализации корней полиномов, поскольку по любому алгебраическому уравнению (5.3.15) можно выписать матрицу, для которой это уравнение является характеристическим, т. е.
— Х?) = 0, а именно:
0 1 0 ... 0 0
0 0 1 ... 0 0
"о "о 0 ... "о ....
~а„ -«»-1 -«2 -«1
Первым крЬтерием локализации собственных значений является формула (5.3.10), которая дает оценку модулей собственных чисел. Второй критерий является следствием теоремы 5.3.3.
Все собственные числа матрицы А содержатся в объединении кругов
п
!*•-«»,г К Е I «у1, 1<Ми,
) = 1
ИЛИ
п
IК Е К\г1> МУ,
]=1
на комплексной ^-плоскости.
Докажем первое неравенство. Пусть оно не выполняется для какого-либо собственного числа X, и всех тогда
п
7 = 1
г*;
следовательно, по теореме 5.3, матрица
А-Х,Е
невырождена, т. е. йе1(А — Х*Е)Ф 0, а это противоречит предположению, что X*—собственное число матрицы А.
5.3.13. Решение линейных интегральных уравнений. В этом пункте представлены некоторые типы интегральных уравнений, которые можно решать аналитически. Это значит, что можно: 1) представить явную формулу для решения в виде интегралов от заданных функций или их преобразований; 2) свести задачу к решению системы линейных алгебраических уравнений и интегрированию заданных функций; 3) представить решение сходящимся рядом, каждый член которого определяется интегрированием заданных функций.
Рассматриваемые интегральные уравнения можно записать следующим образом:
194
\
4 V.
ау(х)+1 К(х,8)у(з)<к=/(х), хєД
где у (х)—искомая функция, стоящая под знаком интеграла, отсюда и название интегральное уравнение; /(х), К(х, 5) — заданные функции; /(х)—неоднородность уравнения; К{х, я) — ядро уравнения; а— константа, если я = 0, то имеем уравнение первого рода, если а ф 0—второго рода; Е>г — область интегрирования по переменной 5; В—область изменения аргумента х.
Обобщением рядов Фурье на непериодические функции являются: интегральное преобразование Фурье — косинус-преобразование функции у(х)
Эти интегральные преобразования при заданной функции /(х) можно трактовать как интегральные уравнения первого рода относительно неизвестной функции у(х).
Если /(х) абсолютно интегрируема в каждом конечном промежутке и при х->±оо монотонно стремится к нулю, то можно применить простые формулы обращения: для косинус-преобразования
00
О
синус-преобразование функции у(х)
+ 00
О
комплексное преобразование у(х)
+ 00
00
оо
О
для синус-преобразования
о
Для комплексного преобразования
+ 00
- 00
195
Рассмотрим уравнение,. в котором К (х, 5) зависит от разности аргументов: К(х, 5) = К(х —5)—интегральное уравнение с разностным ядром А(х—я)
ау(х)+ | А:(дг-5)^(5)*=/(дг). (5.3.17)
- 00
+ 00
Интеграл | А(х — 5) у(з)(Ь называется сверткой функций К и у.
- 00
Применим к обеим частям уравнения комплексное преобразование Фурье; допуская, что применима теорема об умножении Фурье-образа свертки [29], находим
V» [а - у/2к К (х)] у (х) =/(х).
Здесь знаком ~ обозначено преобразование Фурье функции. Предположи^, что функция [а — у/2к А(х)]-1 ограничена на всей оси — оо<х<'+оо. Тогда получим следующую формулу для решения (5.3.17):
+ 0°
/ ч 1 Г е**/(х) ,
у(х) = —7= ----=4-^----
у/2п 3 а—^/2кК(з)
- 00
Уравнения вида (5.3.17) часто имеют место в задачах определения сигнала у(х), подверженного преобразованию (ядро К{х—5)), по экспериментально наблюдаемой функции /(х) (измерения).
Другим интегральным уравнением с известным аналитическим решением являемся уравнение Абеля
х
|-^Л=/(х), 0«*<1. (5.3.18)
а
Если /(х) непрерывно дифференцируема при х^я, то решение уравнения Абеля можно записать в виде
х
/ ч втатс (I Г /(5)
а
Эта формула получается заменой х на 5 умножением уравнения (5.3.18) на (х—.у)®-1 и интегрированием по 5 от а до х. При этом используем формулу
1
Г сЬ _ к
J ^“(1 — я)1-“ втатс* о
Аналитическое решение следующих интегральных уравнений, которые называются вырожденными, можно свести к аналитичес-
