Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Р= —ку — кгу3,
где к, к3—постоянные. При этом движение массы т описывается уравнением
т^+^+ку+кзу3=0 ^5'2'6-)
с условиями (5.2.2).
Если ввести те же безразмерные переменные, что и в примере 1 с помощью замены (5.2.3), то получим уравнение
А2х Ах -х
-т~2+^-Г+х+ел;3 = 0, (5.2.7)
Ах1 Ах
где и = ——, 8 = —^-^, с н&чальными условиями (5.2.5). т (о0 к
В уравнении (5.2.7) имеем еще один безразмерный параметр
в, который характеризует влияние нелинейности. Если параметр
8 мал, то при определенных условиях можно применять метод возмущений ПО 8.
Как уже замечено выше, в задачах (5.2.4), (5.2.7) присутствует важный безразмерный параметр со0Т, характеризующий длину интервала наблюдения или интегрирования, от значения которого зависит возможность применения методов возмущений. От этого параметра можно освободиться масштабированием—переходом к новой независимости переменной
174
Ч=*/(ш0Г).
\
’ V
Тогда интервал наблюдения в переменных х, гх будет единичным,
Но при этом уравнения (5.2.4) 1 с12х . |1 сіх
щТ<Ьх
(5.2.7) примут вид
гг2 мі --------—Ьх = 0;
(о0Т2 dt і “
1 (12х и с1х * _
ггт2 1~2 ----------- Ьх+ех =0,
со0Т Ж2 (00ТсИ1
или после введения новых параметров р2=(а)оТ)~2, р^р^ЮоГ) — следующий вид:
-і
И2-
d х
dx
dx
+Иі-т-+*=о; й2-^т+^і-їг+*+є*-о.
?Л\ ' ГІЛ, ™Л2 •
Теперь вся характеристика задачи, например (5.2.7), содержится в трех безразмерных Параметрах є, р15 р2, в то время как в исходной формулировке имеется шесть размерных параметров: у0, т, Т, р, к, к3. Это первое преимущество использования безразмерных переменных и масштабирования. Второе состоит в возможности по параметрам 8, р1? р2 определить, можно ли применять метод возмущений или нет и какая задача близка к рассматриваемой. Если возможно применение только численных методов, то эти же параметры могут определить, какой из методов следует использовать.
Пример 3. Установившееся обтекание пластины потоком вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями
С ди дv _
^+гГ0’
ди ди\ др (д2и д2и\
ид^с + 1)ТуГ'^+11{д? + д?> dp (d2v d2v^
(5.2.8)
( dv dv\
\иіг,+°т,)=-
ду ^ удх2 ду2
с граничными условиями (рис. 5.2)
Г м(х, 0) = 0, v(x, 0) = 0, х>0,
\ lim u(x,y) = vO0, Hm v(x, у) = О,
(5.2.9)
где и (л:, у), V (х, у)—проекции вектора скорости жидкости в точке (х, у) на оси х и у соответственно, р (х, у)—давление, р—постоянная плотность, р— коэффициент вязкости жидкости.
Приведение задачи (5.2.8), (5.2.9) к безразмерному виду осуществляется выбором характерного размера Ь—расстояния
У к
V«
V
Рис. 5.2
175
от передней кромки пластины до точки на пластине, где изучается течение:
Безразмерными переменными являются независимые ul9 vl9 ри зависимые х19 у х и вводятся с помощью формул
и V р X у
Щ=—, vx=—9 р 1=—г, *1=7, У 1=7. vn ^оо L L
Соотношения (5.2.8), (5.2.9) в безразмерных переменных принимают вид
dui I dvi=n
дхх дух ’ j dux дих_ дрх 1 (д2и1 д2их
Ul дхх ~^Vl <1ух dxx + Re\дх\ ду\
dux dvx __ . дрх 1 /d2vx д2гД
дхг Vl dyl dxx Re у dx\ dy\ J ’
Wi(*i, 0) = 0, 0) = 0,
lim «i(xl9 ^)=1, lim r1(x1,y1) = 0,
JCj—?— 00 JCj—?—00
где присутствует лишь один безразмерный параметр
о V*>L
Re = p—,
р
называемый числом Рейнольдса. Теперь в зависимости от значений Re в конкретной задаче близкими уравнениями могут быть: при больших значениях Re—уравнения пограничного слоя (параметр возмущения (Re)-1), при малых значениях Re—течение Стокса— Озеена (параметр возмущения Re).
Если в конкретной задаче Re не мал и не велик, то применяется численный метод, но контроль результатов осуществляется сравнением вычислений при малых и больших Re с известными течениями. В случае их совпадения в пределах точности вычислений можно надеяться на правильность результатов и в промежуточном диапазоне значений Re. В заключение дадим практическую рекомендацию: исходная задача должна быть преобразована к безразмерному виду, выделены безразмерные параметры, изучены решения для предельных значений этих параметров. Часто предельные решения можно получить аналитическими методами.
5.2.2. Замена переменных. Рассмотренные выше преобразования уравнений к безразмерному виду и масштабирование—простейшие линейные замены переменных, которые выполняются в первую очередь. Затем для упрощения вычислений следует пытаться выполнить более сложные нелинейные замены. Наибольшие вычислительные трудности вызывает наличие у искомых решений у(х)
dy
областей с большими значениями модуля производных — или
dx
176
gradj(x)|| для функций многих
переменных у{х^ х2,
Х„)
(рис. 5.3). Можно определенно утверждать, что переменные у, х не являются наилучшими для представления решения. Более подходят для таких функций переменные у, 5, где 5—длина дуги кривой у(х), т. е.
Iк2=(йх)г+{(1у)2, ^=^1+(у*)2-
Рис. 5.3
Например, задача
dy
= 1+у2, у(0)=0,
<1х ' ' ' ’ ' ^ 2
имеет решение }>(х)=^л:, у которого в точке х=п/2 особенность. В то же время это уравнение в переменных у, имеет вид
<ь_ у;
сЬ 1 +у2
т-т-'+г1’
ds dx
или
dy_
ds
14- У2
1 +у2
Vі +.^2 л/ЩЇ+Р)5
и та же задача с условиями ^(0) = 0, 0^5<оо имеет решение без особенностей ПО 5.
