Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что оставшиеся три корня (5.1.1) не могут быть определены функциями без особенностей по 8. Три оставшихся
168 \
1/0: х2+рх + д = О, не имеет кратных корней (р2/4) — дф0
(5.1.2)
40) =-р12+луУ/4—<?, яї0) = -р/2-7р2/4-д.
Хі (є)=4»+є41)+єМ2)+єМ3)+
; х2 (є)=х<20)+гх^+г2х?+є3^3» +...
(5.1.3)
(5.1.4)
є(х(і0))5+є2хЇ))л41)+е^Д1)=0, Є (х20))5 + єЗх^’х^1’ + &рхі2) = 0.
Отсюда находим
(5.1.5)
(5.1.6)
V
корня лг3 (в), х4 (в), х5 (в) по в должны иметь особенность при 8 = 0, Т. е.
Ишх;(8)=оо, 7 = 3, 4, 5.
?—*•0
Чтобы найти характер этой особенности, произведем в (5.1.1) замену
1
х=—у.
?У
Получим
^тУ5+^У2+^У+Я=0. (5.1.7)
Найдем показатель особенности V из условия, чтобы коэффициенты при старших степенях у в (5.1.7) имели одну и ту же особенность, т. е.
5у— 1 =2V, у= 1/3.
Тогда замена приведет уравнение (5.1.1) к уравнению К: У5+У2 + ?1}3РУ + е2/3# = 0, для которого невозмущенное уравнение имеет вид
У0: у5+у2 =0.
Выбирая из решений У0 ненулевые, находим
У?>=-1, уР=-^.
Теперь к задаче Уе можно применить регулярный метод возмущений. Ищем три корня Уе—уз(е), _1'4 (е), у5 (е) в виде рядов по степеням е1/3:
Уз (е)=^0)+е1/33,!з1)+е2/зУз2)+е3/М3)+...,
УА (е)=УТ++е2/3у42)+е3/зУэ>+...,
УЗ (*)= У?> + е^Ы1» + 82/М2) + е^УУ +....
Так же как и выше, подставим эти ряды в Уе, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях Е1/3 И определим у?, }'(4. уф, 1 = 1, 2... При е1/3 имеем:
г113 • 5 {уфУуР+г1132уТу^+гру^=0, е1/3 • 5 (уфУуР+е^уфУР+г113 руТ=0, е1/3 ?5(у^)4у^>+е1/32у?)>У1>+в1/3ру^=0.
Отсюда находим
уУ>-? р у(Р- р
У3 3’ У4 5(У°»)3 + 2’ 73 5(У°>)3+2'
169
Учитывая связь между х и у, запишем приближения для трех корней уравнения (5.1.1) с точностью до 0(е1/3):
Ряды вида (5.1.8) — (5.1.10) определяют функции лг3(є), лг4(є), лг5(є) с особенностью по є. Методы возмущений, приводящие к таким рядам, называются сингулярными методами возмущений.
Прием, который сводит сингулярный метод возмущений к регулярному, называют регуляризацией. Замена х=г~*у есть регуляризация.
Можно доказать сходимость рядов в (5.1.8) — (5.1.10) для достаточно малых |є|.
Итак, методы возмущений позволили для алгебраического уравнения 5-й степени (5.1.1) записать при малых значениях |є| приближенные формулы всех пяти корней (5.1.5), (5.1.6), (5.1.8) —
Таким образом, методы возмущений расширяют возможности аналитических методов и включают в сферу приложений те классы задач, которые могут быть приближенно решены аналитически.
Наконец, когда в уравнении (5.1.1) значение |е| не мало, методы возмущений неприменимы. Точное значение е0, при котором метод возмущений перестает работать, связано с оценкой погрешности формул для корней *г(е), 1<1<5 и с требуемой точностью вычисления корней.
В диапазоне изменения 8, в котором не могут применяться методы возмущений, используются численные методы.
5.1.5. Пример численного метода. Численные методы — это такие методы решения задач, которые сводятся или могут быть сведены к арифметическим действиям над числами.
Рассмотрим задачу
для которой невозмущенная (е = 0) задача имеет аналитическое решение, приведенное выше. Для малых 8 можно найти ряд возмущений по аналогии с задачей (5.1.1):
(5.1.10).
<^- = ху2 + єзіпл;, ^(О) = 1, 0^л:^1
(5.1.11)
у(х, є) =У0) (х) + є у(1) (*) + О (є2),
(5.1.12)
170
\
где У0)(х)=-—^2, у(1)(х) определяется решением задачи ^=2ху™{х)/1Ч*тх, ^(1»(0)=0,
откуда
х х Ао
т/ ч
^(1)(х)= е52-5, йтзск. о
Последний интеграл можно вычислить аналитически, используя элементарные функции. Но если возмущающая функция ем(х, у) такова, что интеграл для у{1)(х) не выражается через известные функции, то для вычислений е) по формулам (5.1.12) в какой-либо точке х0 е [0, 1] необходимо применять численные методы. Это пример сочетания аналитического метода и метода возмущений.
При в = 1 к задаче (5.1.11) методы возмущений уже не применяются. Задача (5.1.11) является типичным объектом численного анализа. К ней можно применить, например, известный из курса высшей математики явный метод Эйлера. Приближенные значения у{ к точному решению в точках х(=Ш, г = 0, 1, 2, ..., N. находятся из соотношений
У1+1=У1+Ь(х!у? + ®пх1}9 Уо=1- (5.1.13)
Погрешность приближений имеет оценку
шах Ь(^)-^| = 0(А), Л-+0.
Обратим внимание на то, что метод Эйлера (5.1.13) сводит задачу приближенного определения точного решения у(х^ в точках х1 к арифметическим операциям и вычислению элементарной функции ьтхь т. е. это действительно численный метод, так как вычисление втх* также можно свести к арифметическим операциям над числами.
5.1.6. Общие замечания. Подводя итог введению, следует заметить, что, как правило, на практике приходится иметь дело с задачами, зависящими от одного или нескольких параметров, начальных данных и т. п., которые лежат в некоторых интервалах своего изменения.
Для одних параметров, возможно, удается применить регулярный метод возмущений, для других—сингулярный, третьих—численный метод. Наилучший эффект достигается при сочетании всех рассмотренных подходов. Во-первых, результаты применения должны совпадать с учетом точности вычислений в общей области действия методов; это хороший контроль правильности проведенных вычислений. Во-вторых, к любой задаче следует подходить по принципу «сверху вниз», так же как в алгоритмизации и программировании. Сначала математическая задача изучается
