Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
2) Задача Коши для системы линейных уравнейий с переменными коэффициентами (5.3.27), (5.3.26) может быть сведена к (5.3.28) следующим образом.
Запишем (5.3.27) эквивалентным образом:
jx=Лу +/(х)+(А (х) - А0) у,
где А 0 — постоянная матрица с различными собственными значениями такая, что
max \\А(х)-А0
а^х^Ь
и для матрицы А0 известно преобразование Т к матрице
простой структуры В с известной матричной экспонентой. Тогда,
согласно (5.3.31), исходная задача Коши эквивалентна инте-
гральному уравнению
у (х) = ТеВ(х~а)Т~1у°+ J 77ев(х_5)Г“1 [f(s)+(A (5) — А0)}ф)) ds,
а «
которое можно решать методом последовательных приближений: ук+1 (х)=Тев<х-*Т~1у0+ J Тея*-*Т-1 (f(s)+
а
+A(s)-A0)yk(s))ds, (5.3.32)
к—0, 1, 2, ...; у0 (х)=0.
Можно показать, что для любого интервала [а, Ь] последовательность {ук (х)} сходится в пространстве функций С [а, Ь\ с нормой
|| у ||= max || у (х) ||= max max (|у;(х)|)
a^x^b a^x^bl^i^n
203
к точному решению задачи Коши j(x)
И*)=итЛ(4
Скорость сходимости определяется константой К; она тем выше, чем меньше К.
Задача Коши для линейных систем ОДУ может быть записана в виде интегрального уравнения
у{х)=у°+ ]{А (s)j(*)+/(*))<&,
а
которое также можно решать методом последовательных приближений
Ук+1 (x)=j°+ | (А (s)y* (*)+/(*)) ds, (5.3.33)
к=О, 1, 2, ...; у0(х)=у°.
Теорема 5.5. Последовательность {ук(х)}> определяемая (5.3.33), сходится к точному решению j(x) задачи Коши (5.3.27)
(5.3.26) в пространстве С [я, 6]:
у(х)= lim yk(x).
k—> оо
Доказательство. Покажем существование предела {yfc(x)}. Для этого докажем сходимость ряда
Jo+(Ji - Jo)+(j2 - Ji) + - + (л -Л -1) + - (5.3.34)
Так как k-я частичная сумма ряда sk=yk, то отсюда последует существование предела {у*(х)}. Оценим нормы членов ряда. Имеем
II Ji - Jo II = II j (А (s)y°+f(s)) ds II <Af (x-a),
а
где константой M обозначена оценка
II А (х) у°+/(х) КМ (х) || || || + ||/(х) |КМ.
Пусть Т от да
IIJ2 - Ji II = II ] А (?) (у! (i)-Jo (*)) ds к } \\А (?) II II У! (?)-Jo (s) II ds^
а а
< J M1M(s-a)ds=Y^-(x-a)2.
Аналогично,
II J3-J2 К J 1М(*)|| II J2^)-Jl(^)ll ?fe<^^(x_a)3-
Отсюда по индукции можно показать, что
.. .. МММ/ и
\\Ук-Ук-1 К kl (х — а).
\
204
Из (5.3.34) следует, что каждый член ряда начиная со второго по норме С [а, Ь\ меньше соответствующего члена числового ряда с положительными членами
w/, \ .,МЛЬ-а)2 ъжМ\(Ь-а)ъ ъжМ\~1(Ь-а)к
M(b-a)+M u2j +М—--???? +...+Af—,
который сходится к сумме
S=Me^^(b~a\
Следовательно, в силу критерия Вейерштрасса ряд (5.3.34) сходится равномерно для всех л:е[я, Ь\ Каждый член ряда (5.3.34) — непрерывная функция от х, так как интеграл есть непрерывная функция верхнего предела, а поэтому предел существует и является
непрерывной функцией л;. Покажем, что предел = lim
fc—? оо
удовлетворяет (5.3.27) (начальное условие (5.3.26) для у(х), очевидно, выполнено). Для этого в (5.3.23) перейдем к пределу в левой и правой частях равенства при к^>оо. Причем из равномерной сходимости {ук} следует возможность перейти к пределу под знаком интеграла и получить
j(x)=/°+ ](А (s)y(s)+f(s))ds.
а
Таким образом, —решение задачи Коши, что и требовалось доказать.
Заметим, что доказана не только сходимость последовательности {л(х)}, но и оценена скорость сходимости; {yfc(.x)} сходится к пределу не медленнее ряда для экспоненты в точке — а).
В том случае, когда М1(Ь — а) велико, применяется более сложный для вычислений метод (5.3.32), который при определенных условиях может дать более высокую скорость сходимости.
3) Метод последовательных приближений для задачи (5.3.25),
(5.3.26), аналогичный (5.3.33), определяется формулой
х
Л* (*)=У? + J/i 4 Уик (4 У2,к И. Уп,к (4 ds, (5.3.35)
а
к=0,1,2,...; yUk(x)=yf, 1
Если все интегралы в (5.3.35) для к = 0, 1, 2, ... вычисляются аналитически, то решение у( (х) находится в аналитическом виде как предел
yi (*)=blim yt.k (4
к—>?оо
Аналогично доказательству теоремы 5.5 можно доказать существование предела при условиях, обеспечивающих существование и единственность решения задачи Коши.
205
Для примера решим задачу сіу
СІХ
ау = \ +у2, у(0)=0.
Имеем
Л+1(*)= 10+7* (?*))*, У о (з) = о>
О
* X3
У1 (*) = *, Уг{х)= |(1+я)2<&=х+—, о
Л,ДН(1+Н?) )*-ЛГ+т+1Лг5+й...................
Таким образом, получаем правую часть следующего тождества (при &-юо): ‘ .
х3 2 с 22к(22к-\)Вк 2к_<
ЪХ=Х+Т+Т5Х +-"+<Щ\х 1+~>
где Вк—числа Бернулли; ряд сходится для х<п/2, т. е. при к-+ со получаем точное решение задачи.
Вторым аналитическим методом решения нелинейной задачи Коши является метод разложения решения в ряд Тейлора. Если метод последовательных приближений основан на процедуре интегрирования, то метод рядов Тейлора основан на дифференцировании.
Пусть /(х, у) имеет пг непрерывных производных по всем аргументам в области В. Решение ^(д;) ищется в виде отрезка ряда Тейлора:
уМ=7(И + ^ И (х- а) +1 (а) (х- а)2 +...+
+Ат^(а)(*-а)"’- (5-3-36>
т\ (1х
Из исходной задачи получаем
лМ-Л §!(«)-/;(*, >?...у°)-
Затем из (5.3.25) находим
^у>=ы, " (уЛ,
<Ь2 дх^ .= 1 \ду,)}1
