Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Например, для медленно сходящегося ряда
00 1-е'*2
можно для аппроксимации подобрать ряд с известной суммой
? 1 1 я 1
+ тгсЛ5 я = 5\.
к%к2 + 52 2-52 ' 10
Теперь имеем
S=Sl+ I р—(5.3.4)
к = о К
Заметим, что ряд в (5.3.4) является быстросходящимся, но и его сходимость можно ускорить методом Куммера. Запишем
? е'*2 1 * е'*2 ® Гкг( 1 \\
4?0 к* + 5*~ ? +Ж к* + к'}
00
Ряд 52 = Y, e“fc2A:“2 имеет известную сумму 52=0,37247207. Отсюда
k= 1
искомая сумма ряда представляется следующим образом:
s-s,+w+s,-i
где ряд сходится быстрее, чем в (5.3.4).
5.3.8. Фурье-анализ. Под аналитическим Фурье-анализом будем понимать: 1) аналитическое определение коэффициентов ряда Фурье по заданной аналитически (т. е. формулой) функции /(х) периодической с периодом 2п, 2) аналитическое суммирование рядов Фурье, т. е. восстановление /(*), заданной тригонометрическим рядом.
183
Фурье-анализ (аналитический и численный) широко применяется в науке и технике. Отметим две области приложений.
1. Разложение сложного колебания на отдельные гармонические колебания.
2. Решение задач математического анализа, дифференциальных уравнений методом Фурье, т. е. с помощью разложений в ряды Фурье.
Напомним, что коэффициенты Фурье вычисляются по формулам 1 я
ат—~ | /(х)соътх(1х, т = 0,1,2,...,
^ -я 1 я
Ьт—-\ /(х)$ттх(1х, т—1,2,...,
•;) п -я
а затем составляется ряд Фурье функции /(х):
(5.3.5)
* /(х)~ -^ + Е (ат совтх+Ьт Бттх). (5.3.6)
2 1И — 1
Для определения коэффициентов ат, Ът достаточно абсолютной интегрируемости /(х) на интервале [ — я,я]. Для сходимости ряда (5.3.6) достаточно, чтобы /(х) была кусочно-монотонна на [—я,я] и имела конечное число точек разрыва. Тогда для точки непрерывности х0
а 00
А*о) = -г + Е (атСО5тх0+Ьтвтт^о);
2 т= 1
для точки разрыва
^*о+0'— °* = у + Е (атсо5тх0+Ьтвттх0).
Ш~1
Как отмечалось в п. 5.3.6, аналитическое интегрирование (5.3.5) связано с возможностью представить первообразную через известные элементарные или специальные функции. Этот вывод остается в силе и для определения коэффициентов Фурье ат, Ьт.
Приведем пример определения ат, Ът для функции еах, — я<х<я, оСт^О. Имеем:
* I еая-е-“я
а0=- е^/х=---------------= 2
1
ат = ~ Я
Ьп,=\
я
-Я
(—1)т2а
ая ая 1
яу , 1 сссобгпх+тэттх 1
еа сое тхах=------------^----е
я (а 2+т2)
. 1 авттх—тсоътх н
е ъттхах=------------ гг---е
я (<х2+т2)
я(а2+я
бЬося,
_ (— 1)т 12тзЬая я(а2 + гя2)
184
\
V..
Таким образом, для fix), у которых интегралы в (53.5) можно вычислить аналитически, коэффициенты Фурье определяются вычислением известных функций, зависящих от номера гармоники т как от параметра.
Рассмотрим суммирование рядов Фурье. При этом будем
считать, что факт сходимости ряда (5.3.6) установлен, а наша задача — найти в конечном виде сумму ряда, выразив ее через элементарные функции, если она в таком виде может быть
представлена.
Изложим метод Эйлера суммирования некоторых тригонометрических рядов с помощью аналитических функций комплексной переменной.
Предположим, что имеем два ряда | 00 00 -Й0+ X amcosmx; ? amsinmx,
т—1 т= 1
которые всюду, за исключением конечного числа точек на интервале [0,2я], сходятся: первый—к функции р(х), второй—к q(x). Рассмотрим степенной ряд
ia0+ 2 amzm, (5.3.7)
Z т= 1
где z—комплексная переменная.
На окружности \z\ = l, z=eix этот ряд сходится по предположению, за исключением конечного числа точек, т. е.
1 00 p(x)+iq(x)=-a0+ 2 amzm=
Z m= 1
1 °°
=-я0+ ? am(cosmx+isinmx). (5.3.8)
Z m+1
Но, согласно известному свойству степенных рядов (5.3.7) сходится при |z|<l, z=pe*x, 0<р<1, к некоторой функции ф(2)- Тогда имеет место
<p(peix)=^o+ s ampmeimx.
Z m= 1
Если ряд (5.3.8) сходится, то по теореме Абеля его сумма находится предельным переходом
lim ф(ре‘х)=/?(х)+ /#(.*).
р->1
Как правило, lim cp(pe*x) = cp(eix), а отсюда уже р(х), q(x) можно
получить в конечном виде.
Просуммируем методом Эйлера два ряда:
185
0° J
р(х)= 1+ ? —-cosmx; q(x) v 7 ml w
Очевидно, что
ФЙ-' + ^.е-
00 _т
Отсюда
) = ее =еС08Х+г81пд: = еС08ДС(с08(8тд:)+/8т(8тх)). р(х) = ес°8Хсов^тл;), д(х) = еС08Х8т(8тлг).
IX
ф(е*х) = ее =е(
, СОБ Д. +1 вш л:
Следовательно,
5.3.9. Дифференцирование. Процедура аналитического дифференцирования функций одного или нескольких переменных, заданных формулами, является основной во многих вычислительных методах. Построение рядов Тейлора в окрестности точки
требует вычисления рп)(х) в точке л:0. Поиск экстремумов функции /(х1, хп) может быть связан с решением уравнений
и проверкой знакоопределенности с!2/. Вычисление преобразования
часто необходимо при заменах переменных. В задачах дифференциальной геометрии — определение касательных поверхностей, вычисление кривизны поверхности и т. п.— аналитическое дифференцирование служит основным элементом вычислений. В механике вывод уравнения движения связан с дифференцированием функции Лагранжа Ь = Ь{г, уь у\), где уь у\ — обобщенные коор-
динаты и скорости механической системы. Действительно, уравнения Лагранжа имеют вид
следовательно, для получения уравнений движения в виде
