Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
171
качественными методами, затем аналитическими, далее методами возмущений и, наконец, численными методами.
Численным методам в данной книге уделено основное внимание. Как отмечалось выше, успех численных методов объясняется их сравнительно простой реализацией на ЭВМ.
Однако представляется целесообразным перед тем, как применять численные методы к задаче, ответить на следующие вопросы:
1. Какая «ближайшая» задача решается аналитически?
2. Нельзя ли рассматриваемую задачу считать возмущенной «близкой», решаемой аналитически?
3. Какая «ближайшая» задача решается успешно численно и каким методом?
Частичным1 ответом на первый вопрос является само определение «близкой» задачи; что под этим термином понимается в конкретной математической модели подробнее см. в п. 5.2. Следующей частью является фактическое построение аналитического решения.
Затем, если параметры модели и требуемая точность вычислений позволяют применить метод возмущений (положительный ответ на второй вопрос), то его применяют, приняв аналитическое решение за нулевое приближение для решения исходной задачи. Если метод возмущений нельзя применять, то «близкая» задача (аналитическое решение) может служить тестовой задачей для контроля разрабатываемого численного метода.
Если «близкая» задача решается только численно и известен метод ее решения (получен ответ на третий вопрос), то следует пытаться решать исходную задачу, сочетая численный метод и метод возмущенцй. Если эту комбинацию не удается применить, то «близкая» задача (численное решение) может служить тестом для контроля разрабатываемого численного метода.
Все эти «меры предосторожности» кажутся излишними, тем более что численные методы просто реализовать. Но эта простота часто имеет обманчивый вид, так как возникает очень трудная практическая оценка погрешности вычислений.
Поэтому искусство вычислений состоит фактически не столько в предъявлении числовых результатов в виде таблиц чисел, графиков, сколько в обосновании того, что эти результаты получены с заданной точностью.
% 5.2. Масштабирование и замена переменных
5.2.1. Анализ размерностей. Безразмерные переменные. Выше использовались термины «близкая» задача, параметр возмущения. Покажем, как определяется параметр или параметры возмущения, выясним, какая задача является «близкой» к данной задаче, что следует сделать с конкретной прикладной задачей еще до этапа ее решения каким-либо методом.
172
Конкретная техническая задача при своей математической формулировке записывается в виде соотношений, которые содержат переменные, константы в обозначениях и размерностях, принятых в той области техники, к которой эта задача относится.
Пример 1. В механике свободное движение массы т, закрепленной на пружине с коэффициентом жесткости к и демпфером с коэффициентом вязкости Р (рис. 5.1), описывается уравнением
Рис. 5.1
т$+р1+^=0- (5-2Л)
Пусть в момент времени ?=0 заданы начальное смещение >>(()), (1у, \
начальная скорость — (0) = 0. Тогда найти движение на интервале ш
времени (К^Т7 означает проинтегрировать уравнение (5.2.1) с начальными условиями
Д'ФНз'о, |(0)=0. (5.2.2)
В конкретной задаче масса т может выражаться в граммах (г), у—в сантиметрах (см), I—в секундах (с), Р — в г/с, к — в г/с2. Например, уо = 5 см, т = 50г, Г= 20 с, Р = 10 г/с, ?=200 г/с2. В размерных переменных /, у трудно обнаружить, какая задача близка к рассматриваемой—та, в которой можно пренебречь демпфированием, или та, где можно пренебречь собственными колебаниями.
Перейдем к безразмерным переменным т, д; с помощью замены
т = лД/т/, х=у/у0. (5.2.3)
Для этого введем величину щ = у/к/т, равную собственной частоте колебаний без демпфирования. Смещение д; теперь выражается в единицах начального смещения. Замена по формулам (5.2.3) дает
Ау_А(Уох)Ах_Ах ; с12у_(12Х 2 2 А( Ах Ж Ах 0 °’ Ш2 Ах 00
и приводит к уравнению в безразмерных переменных д;, т
А2х Ах
где ^ = Р/(т(о0), с начальными условиями
Ах
х(0)= 1, ^=0. (5.2.5)
Ах
2+ц—+*=0, (Кт^Юо?’, (5.2.4)
173
Для рассматриваемых значений параметров имеем р = 0,1. Поэтому можно попытаться на интервале приближенное решение
(5.2.4) находить методом возмущений, считая невозмущенной задачу
(5.2.4), (5.2.5) с р = 0 (т. е. близкая задача—это задача без демпфирования). Заметим, что этот факт обнаруживается не по значению коэффициента вязкости Р, а по комбинации трех параметров |1 = Р/(та)0). Кроме того, важна длина интервала изменения т; при больших значениях со07> 1 задачу без демпфирования также нельзя считать близкой. Подробно этот факт рассматривается ниже.
Фактически безразмерный параметр р является параметром подобия. Системы (5.2.1) с разными значениями Р, т, а>0, но с одинаковыми^ р ведут себя одинаково и могут быть исследованы интегрированием одного и того же уравнения (5.2.4).
Пример 1 носит иллюстративный характер, поскольку решение задачи (5.2.1), (5.2.2) выражается в элементарных функциях, но следующее небольшое изменение задачи и приведение ее к безразмерному виду уже имеет содержательный смысл.
Пример 2. Пусть сила упругости пружины нелинейно зависит от смещения
