Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
5.3.4. Вычисление элементарных функций комплексного переменного. Эти функции вычисляются либо прямым обращением к библиотечным с соответствующим описанием аргумента и значения функций как комплексных переменных, либо (в случае отсутствия их в библиотеке)—программированием вычислений. Так как функция комплексного Деременного и>=/(2) может быть представлена в виде (и> = м + и;, г = х-\-гу)
то определение и(х,у), v(x,y) сводится к разделению вещественной и мнимой частей заданной функции; они выражаются через элементарные функции вещественных аргументов, и программирование не вызывает ^ затруднений. Например, функция Жуковского
вычисляется разделением на вещественную и мнимую части
и объединением двух вещественных величин в комплексную с помощью библиотечной функции
\? = СМРЬХ(и, V).
Выделение действительной части х у комплексного числа г производится функцией Х = ЯЕАЬ(2) мнимой части—функцией У = = А1МАО(г).
5.3.5. Аппроксимация функций. Приближение функций, заданной в аналитической форме другой или другими функциями, определяется в основном необходимостью ускорить процесс вычислений функций с заданной точностью.
и = и(х,у), v = v(x,y),
180
\
ч
V,
Например, время вычисления функции
/ . sinx+cosx
(5-3,)
в точках 0<х<0,1 с точностью в можно значительно уменьшить, если заменить у(х) приближенно полиномом
Ря(х) = л0 + л1х + ... + лих".
Коэффициенты и погрешность можно найти, например, из ряда Тейлора для у(х). Допустим, что 8 таково, что полином третьей степени обеспечивает точность в, т. е.
шах | >>(х) — Р3 (х) | < в.
0^х^0,1
Тогда для вычисления у(х) в любой точке х g [0,01] с помощью Р3(х) требуется три операции сложения и три умножения. Этот вычислительный процесс займет гораздо меньше времени счета на ЭВМ, чем вычисление по исходной (5.3.1) формуле для j(x).
На интервалах большой длины целесообразно приближать у(х) рациональными функциями
/ \ а0 + а1х+... + апхп
Можно область изменения х разбивать на интервалы и на разных интервалах аппроксимировать и(х), либо Рп(х), либо wn m(x).
5.3.6. Интегрирование. Методы аналитического интегрирования подробно изучаются в курсе высшей математики. Зная таблицу основных интегралов и правила интегрирования, путем замены переменных, интегрирования по частям и т. п. можно вычислить точно интеграл
\y{x)dx = F{b)-F{a),
а
зная первообразную F(x) для широких классов функций. Причем если F(x) выражается через элементарные или специальные функции, для которых можно найти F {а), F{b) с заданной точностью, то считается, что аналитическое интегрирование выполнено. Например,
1
Jxe*dx=l, Je"* dx = ^erf(l), f^^x==??(l). (5.3.2)
о о 2 J х
о
В то же время интеграл от простой функции
не выражается в конечном виде через значения известных элементарных и специальных функций. Тем более это будет правилом для более сложных подынтегральных функций.
Интеграл можно вычислять численно. Но здесь, как и в аппроксимации функций, возможно, удастся ускорить процесс вычисления, если сначала подынтегральную функцию приблизить с точностью в полиномом Рп(х) или рациональной функцией т(л:),
ь
а затем аналитически вычислить известным образом \Рп(х)(1х или
а
Ъ
а
5.3.7. Суммирование рядов. Аналитические методы не ограничиваются только конечными вычислительными процессами, допускается предельный переход, а также суммирование бесконечных рядов. Напрцмер, интеграл от >>(л:) можно заменить интегралом от ряда ТеШюра ь
ъ Г 00
а ‘ J к = О
тогда задача интегрирования сводится к задаче суммирования бесконечного числового ряда.
Представление решения в виде ряда имеет преимущество по
сравнению с другими методами решения тогда, когда оценка
00
отброшенной части ряда ? Ак легко определяется. Например,
k — N+l
для знакопеременного ряда с монотонно убывающим \Ак\ погрешность вычисления 8<|^4n+1|. Чтобы вычислить
у
к=о (2&+1)&!
О
с точностью до восьми верных знаков, достаточно взять одиннадцать слагаемых в сумме
т И)* к=0 (2к+1)к\'
Так и следует поступать, если в библиотеке нет программы вычисления erf (х) с двойной точностью, поскольку одинарная точность не дает восьмой верный знак; следовательно, формулой из (5.3.2) воспользоваться нельзя.
Если ряд сходится быстро, то трудности при вычислении суммы ряда не возникают. Если же ряд сходится медленно, то суммирование ряда можно пытаться выполнить методом Куммера.
Суть этого метода состоит в том, чтобы медленно сходящийся
00 00
ряд ? Ак аппроксимировать рядом ? Вк, для которого известна
fc=0 к=О
182 \
V
сумма 5^= ? Вк, а скорость сходимости рядов одинакова, т. е.
к = 0
найти такие Вк, чтобы
Иш
к->оо
-А
= 0. (5.3.3)
Тогда 5= ? Ак можно записать в виде 5=5!+ ? (Ак — Вк) и,
к = 0 Л = О
таким образом, суммирование исходного ряда сводится к суммированию ряда с общим членом Ск = (Ак — Вк), который, согласно
(5.3.3), сходится быстрее исходного.
Предложенный подход можно повторить, если удается аппрок-
00
симировать ряд ? Ск рядом с известной суммой и т. д.
к = 0
Для ускорения сходимости рядов по методу Куммера необходимо иметь таблицу рядов с известными суммами. Подробные таблицы рядов представлены в [21—23].
