Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
196 \
V.
кому решению системы линейных алгебраических уравнений. Вырожденные уравнения
ау(х) +1 К(х, $);;($) Ж =/(*), хеД (5.3.19)
в
имеют ядро К (х, 5), представимое в виде
к(х’ ?*)= Е
к = 1
Функции ак(х), ^(.у) линейно независимы, аф0. Определим постоянные ск:
ск= | к= 1, 2, ..., л.
о1
Тогда исходное интегральное уравнение запишется в виде
л
ау(х)+ Е сл(х)=/(х).
к= 1
Умножая это соотношение последовательно на 6*(л;) и интегрируя по области I), получим систему линейных алгебраических уравнений
ОТНОСИТеЛЬНО Су
п
ас}+ Е А,./С*=А> 1 (5.3.20)
к = 1
где
А,; = | а» (х) 6; (х) л?*г, А = |/(х) (х) Л.
В в
Если матрица АК] и вектор <1} могут быть определены аналитически, а затем (5.3.20) также решается аналитически относительно с у то решение интегрального уравнения находится по формуле
у(х)=^ (/ И - Д ак {х) <*).
Наконец, рассмотрим метод последовательных приближений решения (5.3.19), который при определенных условиях может дать аналитическое решение. Построим по (5.3.19) последовательность функций ук(х) таким образом:
л(х)=^(Дх)- | К(х, з)ук-1 (5) (5.3.21)
»1
?=1,2,...; у0 (х) = 0. Если последовательность функций {л(*)} имеет предел у (х) в некотором функциональном пространстве, возможен предельный переход под знаком интеграла в (5.3.21)
197
и при любом к интегралы в (5.3.21) можно взять аналитически, то формула
у(х) = ^Ук(х)
дает аналитическое решение (5.3.19).
5.3.14. Корни полиномов. Как уже отмечалось, точное аналитическое решение алгебраического уравнения
для произвольного полинома возможно при л ^4. Однако для многих приложений, связанных с исследованием устойчивости динамических , систем, важно показать, что корни Рп (л;) имеют отрицательный вещественные части, а не определять их точные значения. В данном пункте рассматриваются необходимые и достаточные условия для того, чтобы полином Рп (х) с вещественными коэффициентами имел корни с отрицательными вещественными частями.
Обозначим КОПНИ Р Гг): вещественные хь 1 ^ ^ комплексные
Теорема 5.4. Для того чтобы выполнялись неравенства л^<0, 0С/<0 необходимо, чтобы все коэффициенты а{ (1</^л) имели тот же знак, что и а0.
Доказательство. Представим Р„(л:) разложением на множители следующим образом:
-7 Л. (*)=(*-*1) - (*-**) (*-<*1-Ф1) (Х~а1 + Ф1) -
а0
... (л: — а(и _^)/2 — / Р(и - к)/2) (* — - к)/2 + * К - к)/2) = (* — Х1) • • •
...(х-л:*) (л:2-2ос1л:+а? + р1)...(л:2-2а(„_к)/2л:+а(2и-к)/2 + Р(2«-/к)/2).
Поскольку х*<0, а/<0, в правой части знаки при степенях х строго положительны, а следовательно, все коэффициенты в Ри(х) имеют знак, совпадающий со знаком а0, что и требовалось доказать. Введем определители Гурвица
Справедлив критерий: для того чтобы полином Л,(х) при а0>О имел все корни с отрицательными вещественными частями, необходимо и достаточно, чтобы:
1) я*>0, 1</<л;
2) Д„_!>0, Аи-з>0, ... .
5.3.15. Корни нелинейных уравнений. Элементарные трансцендентные функции (вшх, і%х и т. п.) имеют на вещественной оси
198 \
Рп(х) = а0хп+а1хп 1 + ... + а„_1х+ая = 0
а\ а-т. ас
4 4 4
О аг аъ
О д2
Ч
— оо<х<+оо бесконечное число нулей. Однако если ограничиться конечной областью О изменения независимого переменного х и заданной точностью вычислений корней, то при достаточной гладкости функции /(х) в В можно для отыскания корней уравнения
Л*) = 0 (5.3.22)
использовать аналитические методы определения корней полинома.
Заменим (5.3.22) отрезком ряда Тейлора с центром в х0 с остаточным членом в форме Лагранжа
/(*) =/(*<>)?+^уг (* - *о) +^-|р (х - х0)2 +... (* ~ *о)"+
(5-3.23)
где с = с(х)—точка между х и х0. Затем в (5.3.23) следует отбросить остаточный член, найти аналитически корни полинома п-й степени, оценить ошибку в определении корней, связанную с заменой /(х) на Рп{х\ т. е. показать, что удовлетворяется заданная точность вычисления корней в области Т>.
Например, если уравнение со8х = 0 в области 0^х<5 заменить уравнением Р4(х) = 0
1 —х2/2+х4/24 = 0
(отрезок ряда Тейлора с центром в точке хо = 0), то точный первый корень — х1^ = п/2 определяется формулой
х1,г=у/б±у/26^2А=‘у/б±2у/з
з
с ошибкой ~0,02, второй—х2,* = -л с ошибкой ~2.
Если разложить совх в ряд Тейлора с центром в точке х0 = л и оставить слагаемые до четвертой степени включительно, то получим уравнение
откуда первый и второй корень определяются с погрешностью ~0,02:
х1(2 = я+л/б-2 Уз.
Как и при аппроксимации функций, полином Рп{х) может выбираться не только на основе ряда Тейлора, но и любым другим способом. Важно только уметь оценивать погрешность замены /(х) на Рп(х)—соответствующую погрешность определения корней. Кроме того, можно заменять /(х) дробно-рациональной функцией и^т(х) и искать нули числителя.
5.3.16. Нелинейная оптимизация. Поиск минимума или максимума нелинейной функции /(х) в некоторой области — простейшая
199
задача нелинейной оптимизации. Аналитические методы решения этих задач связаны с решением уравнений, вытекающих из необходимого условия экстремума.
Пусть /(х)—дважды непрерывно дифференцируемая функция переменных х = (х1? х2, х„) в открытой области В. Тогда, если
