Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
о ^у^а)
с последующей подстановкой х=а, у”, затем 3 и т. д.
Остаточный член ряда Тейлора дает погрешность приближения у^т(х) к точному решению у^х) задачи Коши.
Л
206
V,
І
Для примера решим методом рядов Тейлора задачу
| = *+е4', 7(0) = 0,
где а—параметр. С точностью до 0(х4) получаем
7з(х)=х+(1+а)у + ^-^х3 + 0(дг4).
7з(х)=х+(1+а)у +
Обратим внимание на то, что аналитическое решение дает приближенную формулу для произвольных значений параметра а; такой результат нельзя получить в рамках численных методов.
5.3.18. Решение ОДУ. Краевые задачи. Краевые задачи отличаются от задачи Коши тем, что дополнительные условия для дифференциальных уравнений задаются не в одной точке, а в двух: на краях интервала т. е. в точках х — а, х = Ь.
Покажем, как в приложениях возникают краевые задачи.
Пример 1. Найти траекторию механической системы, связывающую начальное и конечное состояния системы, задаваемые обобщенными координатами qh 1 в момент времени ї = г0:
#і(/о) = #?> в момент времени / = : ^(Ч) = 0г- Эта задача эквивалентна решению уравнений Лагранжа
Роль независимой переменной х здесь играет время /, на концах интервала [г0, ] задаются дополнительные условия для опреде-
ления решения системы ОДУ—уравнений Лагранжа.
Пример 2. Найти химическую кинетику реакции с заданной концентрацией некоторых исходных и конечных продуктов реакции (кинетика реакции—это решение системы ОДУ сг(/), удовлетворяющее краевым условиям).
Уравнения химической кинетики записываются в виде
Число дополнительных условий на левом и правом концах интервала У0, 1г] равно порядку п системы ОДУ.
Другим важным источником краевых задач является метод разделения переменных решения уравнений с частными производными
с дополнительными условиями
ЯіМ = Я?> Яі(п) = ч'і,
с начальными условиями для концентраций Сі(*о) = с?,
и конечными условиями для концентраций с{
207
(п. 5.3.19). Во многих случаях метод приводит к решению линейного дифференциального уравнения вида
а^1ь? + Ь^Тх + с^х)у+^х)у=^х) (5.3.37)
на интервале а<х<Ь (к—параметр) со следующими условиями на краях интервала:
а0у(а)+<х1‘^(а)=<х2;
Ро#)+Рі?(*)=Р2, (5-3.38)
где а*, Р*—заданные константы, ао + аїт^О, Ро + Ріт^О.
Если однородное уравнение (/(х) = 0), соответствующее (5.3.37), имеет коэффициентами а(х\ Ь(х\ с(х), g(x) — полиномы, то для некоторых из них общее решение выражается через специальные функции (см. [11]). В таких случаях аналитическое решение краевой задачи (?.3.37), (5.3.38) сводится к вычислению интегралов от произведения /(х) на комбинации специальных функций и решению системы линейных алгебраических уравнений второго порядка.
Пусть, например, в (5.3.37) a(x)=g(x)=l, Ь(х) = с(х) = 0, к—вещественный параметр, >-<0. Обозначим А,= — V2 и положим в (5.3.38) а. = р.= 1, /=1,2, а = 0, 6=1. Имеем краевую задачу
Решение у(х) ищем в виде суммы
у(х) = и(х) + ц,(х)’
где и(х) является решением краевой задачи
сІ2Ч 2 Л
"-0'
“(°)+|(0)-1. «0)+?рИ-»(і)-?<0 <
с однородным 'уравнением и неоднородными краевыми условиями, и^(лг)—решением задачи Коши
1^-у2и;=/(4 Ц0)=0, ?(0)=0.
Решим последнюю задачу методом вариации произвольных постоянных. Имеем
и^(лг) = с1 (л;) еу* + с2(х) е “ у*.
208 \
V..
Тогда
Положим
Лум / \ с1с 1 (1со „ —»!?«?
— Ы = — е + —е у,х + с1уеух — с2Уе у*. с1ху ' с1х с1х
-±еу* + -±е-у* = 0; ах ах
2-= уеУЛ - ^ уе "ух + V2 еУЛ + с2У^е
2а-\х
следовательно,
</х2
Отсюда и из исходного уравнения для и> находим
_ ^2 уе - у* _
(Ьс
Из (5.3.39), (5.3.40) определяем
= —е
^С1 _ а-2\х ^С2
с1х
<1х9
V &2
откуда
( —е 2ухуеу* —уе У*)^=Д*)>
с/х
2\
(5.3.39)
(5.3.40)
^=^/(4 С1(х)=с? + }^-^)*-
Значения констант с?, с® находим из начальных условий для и>(х):
0 = и>(0) = [с? —
/%
^е“У*/(5) <&] е1'* + [с2 - Ае'/5/(5)<*']е -',* = с1 + с2
^-еУ5/(5)йЬ]уе У>х = с\\ — С^У.
Получаем с? = 0, ^2 = 0. Окончательно имеем
л
Цх)=+е"|А
е Ув/(5)Л — е"
(1\у
йх
X X
(х)= +ета| ^е-у!/(5)Л + е-''х
209
Для функции и{х) краевое условие в точке х=\ перепишем
с учетом формул для и>(л:), — так:
ах
і
О
Решение краевой задачи
и(лг) = с1еу* + с2е"у*
сводится к определению констант с19 с2 из краевых условий
Сі + с2=1,
с1уеу —с2ує У = 1 + |*^[—(1+2у)е у(5 1} — о
-(1-2у)єу(5"1)]/(5)Л. (5.3.41)
Отсюда находим с1} с2 и искомое решение ^р(лг):
і
3>(*)=—т~^—“уе У_1~ 1 7 —у(е у+еу)‘
^ [ - (1 + 2у) е “ ',<5~1( - (1 - 2у) е'’*5- *>] х
О
х/(,)ф}+_у(ее;<;+еУ){-уеу+1+|1[-(1+2у)е-^-1)-
* о
X X
-(1-2у)е',<*-1)]/(5)*|-ета|^;е“''У(5)йЬ+е-''*|^;е''У(5)*.
о о
Рассмотренная краевая задача имеет единственное решение. Этот факт связан с тем, что определитель системы линейных уравнений (5.3.41) отличен от нуля:
— у(е“у+еу)т*0, У7^0.
Можно привести примеры неразрешимых краевых задач, а также краевых задач, имеющих бесчисленное множество решений. Эти свойства задач определяются системой линейных алгебраических уравнений типа (5.3.41), так как неразрешимость или бесчисленное множество решений системы приводит к аналогичному свойству исходной краевой задачи.
В том случае, когда решение однородного уравнения, соответствующего (5.3.37), не выражается в известных элементарных и специальных функциях, можно применять эффективный метод решения (5.3.37), (5.3.38)—метод прогонки. Суть этого метода состоит в сведении краевой задачи к некоторым задачам Коши.
