Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Введем полярную систему координат (г, ср) и запишем уравнение Лапласа в полярных координатах
1 д ( ди
VT'
+1^-0
г2д<р2
(5.3.66)
Ищем частные решения (5.3.66) в виде
м=/?(г)Ф(ср).
Для определения функций R(r), Ф(ф) получаем уравнения
ф;2+х2ф=о,
Общее решение первого уравнения
Ф (ф) = С х COS >,ф + С2 sin >,ф.
Функция Ф (ф) должна быть периодической с периодом 2к, т. е.
Ф(ф + 2я) = Ф(ф).
Последнее равенство влечет условие
Х = п,
где п — целое число. Общее решение второго уравнения
R(r) = c3rn-\-c4.r~n.
221
Поскольку ищется решение и (г, ф) дважды непрерывно дифференцируемое в круге (т. е. и при г = 0), следует положить с4 = 0. Итак, частные решения
ып(г, (р) = гп(апсо$гкр + Ьп$тп<р), 0<г^го, 0^ф<2тг,
где ап9 Ъп—произвольные константы. Образуем ряд
и = О
неизвестные коэффициенты ап, Ъп определим из граничного условия м(го> ф) = Фо(ф)> 0^ф^2тг; фо — заданная функция. Имеем
Последняя формула дает аналитическое решение для функций ф0 (ф), представимых конечным отрезком ряда Фурье, а также в том случае, когда интегралы берутся в явном виде и ряд суммируется аналитически.
Приведем некоторые общие замечания относительно метода Фурье. Основная идея метода—свести решение уравнения с частными производными к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которой выражается в элементарных или специальных функциях. Однако для успешного применения аналитического метода необходимо, чтобы область пространственных переменных была ограничена координатными поверхностями тех систем координат, в которых переменные рассматриваемого уравнения разделяются. Именно поэтому выше рассмотрены прямоугольник и круг (более подробно см. [31]). Кроме того, аналитический метод эффективен в случае начальных и граничных условий, представляемых в виде конечной суммы по собственным функциям однородной задачи для данной области.
00
и(г> ф)= Е мЛг> ф);
00
Фо(ф)= Е гЬ(аяс<№п<р + Ь„$іпп<р).
л = 0
Отсюда находим
-я
-я
я
-я
Окончательное решение поставленной задачи имеет вид
-я
— я
я
222
\
\
Если имеется возможность в технической задаче выбирать область, начальные и краевые условия, то следует принимать во внимание, что разумным их выбором можно получить аналитически решаемую задачу.
8. Метод подобия в нелинейной задаче теплопроводности. Рассмотрим уравнение теплопроводности или диффузии в том случае, когда коэффициент теплопроводности зависит от температуры, т. е. к=к(и):
где и0, иг—константы. Это задача определения температуры тонкого полубесконечного стержня с начальной температурой м0, к которому на границе (х = 0) подключен тепловой резервуар, обеспечивающий на конце стержня температуру, равную их.
Заметим, что уравнение (5.3.67) не изменяется при преобразованиях независимых переменных:
т. е. остается подобным себе, если масштаб длин изменить в д раз, масштаб времени—в д2 раз. При этих преобразованиях не изменяются и дополнительные условия (5.3.68), (5.3.69). Поэтому для решения поставленной задачи при любых х, /, д должно выполняться равенство
Подставим эти выражения в (5.3.67), получим уравнение
Таким образом, исходная задача для уравнения с частными производными свелась к краевой задаче для ОДУ. Аналитическое
(5.3.67)
в области О^дгсоо, 0^/<оо с начальным условием
и(х, 0) = и0
(5.3.68)
и граничным условием
и(0, г) = ии
(5.3.69)
х^дх, *і = д2і,
и(х, і) = и(дх, #2г).
(5.3.70)
Положим д= 1/^/7. Тогда из (5.3.70) получим, что и(х, /)—функция одной переменной 2=х\^[г
и(х, *) = м (*/>//, l) = vlz).
Отсюда находим
ди &(— 1)х ди_ \ <1\) д 1 сі
ді сіг 2г3/2 ’ дх ї112 сіг9 дх г112 сЬ'
(5.3.71)
с дополнительными условиями из (5.3.68), (5.3.69) »(0) = «!, о(оо) = м0.
(5.3.72)
решение задачи (5.3.71), (5.3.72) дает аналитическое решение исходной задачи.
# 5.4. Методы возмущений
В методах возмущений важную роль играют такие понятия, как асимптотические формулы и ряды; определим их предварительно.
5.4.1. Асимптотические формулы, оценки и ряды. Пусть функция ф{х) определена на множестве О изменения переменной л;, пусть точка а—предельная точка ?>. Напомним понятие символов порядка о и О. Соотношения
/(л;) = 0(ф(х)), л; ->а, хеП,
.;} Л*)~ф(4 Х-Ю, хеД
/(х) = 0(ср(х)), хеД /(х) = 0(ф(х)), х-+а, хеД
эквивалентны следующим:
/(лг)/ф(х)->0, х->а, хеД /(д:)/ф(х)^1, х^>а, хеД
\/(х)/(р(х) |^с< °о, хе Д
оо, х->а, хеД где с—константа. Например, при л;->0, л:>0
8Ь^=0(е1/х), е“1/х = о(1), втлт^д:, со8д; = 0(1),
1п1п — = ( 1п —
л: \ л:
для комплексной переменной 2
^=о(е|1т2'), 2—? 00, 1-е"2 = 0(2), Яе2>0;
для натуральных чисел п
1пл!~л1пл, п-юо.
Формулы (5.4.1) называют асимптотическими формулами или оценками.
Пусть имеется последовательность {ип(х)}> д:е Д л = 0, 1, ..., такая, что
Ит^-0;
такая последовательность называется асимптотической.
Будем говорить, что ряд
00
Е а»ип(х) п = 0
224 \
V..
(не обязательно сходящийся) является асимптотическим рядом функции /(х) по асимптотической последовательности К( *)}, если для любого п
п
/(*)- X а»ип{х) = о(ия(х)), х->а.
fc = о
