Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка):
Ь N-1
|/(х, г)с1х= ? а„и„(е)+0(иы(е)), е->0.
а п — 0
Одним из простейших способов получения асимптотических разложений интегралов является метод интегрирования по частям. Найдем для примера асимптотику по 8 следующего интеграла ^(е) для /(х)еС*[0, оо):
Тг(8)=|е Х,еф(х)йх = — ге х/еф(х)
+ 8 | е Х,е/'(х)йх =
= е/(0)-82е х1е/(х)
+ 82 | е~х1лГ(х)йх = е/(0) + е2/(0) +
+ 83/'(0)+... + 8М/М 1(0) + 8Л|е х/г/!*(х)(1х.
О
Асимптотический характер получающегося ряда устанавливается оценкой остаточного члена
|Л*(е)| = е"
| е Х,е(1х = сг1*+х,
где константа с оценивает /**(х):\/№(х)|<с на интервале 0<х<оо.
Рассмотрим асимптотические разложения интегралов от быст-роосциллирующих функций. Численное интегрирование таких функций тем сложнее выполнить, чем выше частота осцилляций (см. гл. 7). Пусть ср(л;)еС^[я, &], тогда интеграл
^(е) = | е‘? ср (х) с1х (5.4.6)
228
\
V
У*
<Р(х)
(здесь /—мнимая единица) представляет собой интеграл от быстро-осциллирующих функций (рис. 5.10):
(р(х)со$(х/е), ф(д;)8т(д;/е), 8->0, 8>0.
Частота осцилляций а> = со(е)
со=(2л/г)-> оо; 8—»0.
По сравнению с численными методами асимптотические методы обладают свойством: чем выше частота со(е), тем меньше нужно брать членов асимптотического ряда для достижения одинаковой точности.
Этот ряд получается также интегрированием по частям. Имеем *?(*)= Е1»’"+1[е'«ф"(в)-е'?ф-(*)]б-+1+Лм(8)>
где
Ъ X
Ям(е) = | е‘6 ф*(д;)4х.
Так как функция ф^(д:) непрерывна, то в силу леммы Римана
Ь х
| е‘8 ф^(д;)^д;->0 при е->0.
а
Таким образом,
Д*(е)~о(еж).
Обобщением (5.4.6) является следующий интеграл:
Ъ /(X)
^(е) = |е^ 8 ф (х)с1х.
(5.4.7)
В (5.4.7) функция ф(д;) называется амплитудой, -/(*)—фазой
подынтегральной функции. Вычисление асимптотического разложения /’(е) при 8—>0 производится методом стационарной фазы. Идея этого метода состоит в том, что главные члены асимптотики
229
^(є) определяются малыми окрестностями точек я, Ь и тех точек х{ интервала (а, 6),
где фаза ^/(*) стационарна (рис. 5.11),
т. е. /'(дс,)=0.
| [ | ( > Рассмотрим конечное число стационар-
ен х1 х2 Ь X ных точек Хі таких, что /"(х^фО. Очевидно, что [я, 6] можно разделить на конеч-
Рис. 5.11
f(x)
-.1
?Г(сО<о
f(d)>psZ.
f(x)
d ‘ ? X
a)
?
b)
V^Fc/3)<0
-J------1—>
o( p X C)
Рис. 5.12
ное число замкнутых интервалов, в каждом из которых f (л;) или не обращается в нуль, или обращается в нуль в одном из концов этого интервала. Рассмотрим эти три случая отдельно (рис. 5.12).
Теорема 5.8. Случай а). Пусть /(*) не имеет стационарных точек на [a, ?]. Пусть f(x)eC2\_а, ?j, ф(х)еС1[а, ?]. Тогда
с(Е)-|е'®фНЛ=5[|М/л_?Ме/-«]+ои.
ОС
Случай Ь). Пусть f(x) имеет одну стационарную точку х = си на [«• р]- Пусть f(x)eC3 [ос, ?], ф(л:)еС1 [a, ?]. Тогда
?
Г LM Г тгр “l1/2 / (*),ni
G(e)=je' « y(Ar)^=|^±2/,(ot)j <p(a)e1 • “ 4 + О(e),
ОС
где знак плюс соответствует /"(ос)>0, знак минус—/"(ос)<0.
Случай с). Пусть f(x) имеет одну стационарную точку х = ? на [«. Р]. Пусть f{x)e С3 [а, ?], ф(л:)еС1 [а, ?]. Тогда
?
Г Г irr ~11/2 / (*),ni
G(s)=Je' Е ф(*)</лс=[±/>(р)] <р(^е‘ ' 4 + 0(е)>
ос
где знак плюс соответствует /"(?)>0, знак минус—/"(?)<0. 230 Чч
V.
I
Доказательство. Докажем наиболее простую часть теоремы— случай а). Интегрируя по частям, получаем I
э
Очевидно, что С (в) имеет порядок О (в). Функция
удовлетворяет тем же условиям, что и ф(х), поэтому интеграл
0 I
| е‘8 ^(х)с1х
ОС
есть величина О (в), что и доказывает первую часть теоремы.
5.4.3. Теорема Пуанкаре. Как отмечалось в п. 5.1.4, имеется два основных типа рядов возмущений и соответственно два типа методов возмущений: регулярные и сингулярные. Теорема Пуанкаре относится к регулярным методам возмущений решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученные ниже ряды возмущений по в оказываются не только асимптотическими, но и сходящимися. Асимптотическая последовательность, используемая для построения рядов, степенная {е"}.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
^=/(^ Л, е). (5.4.8)
Здесь у—вектор (У1,у2> 8—параметр возмущения.
Для (5.4.8) задаются начальные условия
у(а)=у°. (5.4.9)
Будем предполагать, что функция /(у, х, е) является аналитической функцией всех своих аргументов в области
а^х^Ь, 0<?<ео},
где 1!.у01К</.
Рассмотрим невозмущенную систему уравнений, соответствующую (5.4.8),
%=/{)0) (5.4.10)
231
с начальными условиями (5.4.9). Предположим, что решение
(5.4.10), (5.4.9), }>о(*) существует на интервале a^x^b, Н^оН^-Будем искать решение (5.4.8), (5.4.9) в виде ряда
у{х> е)= Ё Ы*)8*- (5.4.11)
к = 0
Для определения ук(х), к—0,1,2..., подставим (5.4.11) в (5.4.8) и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях гк, получим системы уравнений для определения неизвестных вектор-функций
Ых)=(л,1 М>л,2М> ->л,»(*))> *=°> 1> 2> ••••
В нулевом приближении (в0) имеем
0).
т. е. невозмущенную систему уравнений. Зададим для у0(х) начальное условие (5.4.9); тогда в силу единственности решения задачи Коши найдем, что j0(^)—невозмущенное решение (5.4.10), (5.4.9). В первом приближении (в1) имеем
