Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Боглаев Ю.П. -> "Вычислительная математика и программирование " -> 72

Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.

Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование — Высшая школа, 1990. — 546 c.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка): vychmatiprog1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 168 >> Следующая

где к—коэффициент теплопроводности, с—удельная теплоемкость, р—плотность материала стержня. Функция
fix, o-ffci!,
' 7 ср
214 N
V
где Р{х, /)—плотность тепловых ис- и
ТОЧНИКОВ в точке л; в момент времени
I (рис. 5.6).
г
Для однрзначного определения решения задаются начальное условие
Ъуг и (х/Ь)
и(х, 0) = фо(д:), 0<л:^/ (5.3.54)
(фо(х)—начальное распределение температуры в стержне) и граничные условия, например вида
Рис. 5.6
X
I х
и (о, 0=М0> и(1> 0=М0
(5.3.55)
(ц0, Рі—заданные температурные режимы на краях стержня) или
(задан тепловой поток на левом конце стержня); возможны различные комбинации краевых условий.
Двумерное уравнение теплопроводности или диффузии имеет вид
Здесь (х, у, Х>0—трехмерная область, где ставится задача
определения температуры и(х, у, 2, /) в момент времени г. Для выделения однозначного решения задаются дополнительные условия, аналогичные (5.3.54), (5.3.55).
Волновое уравнение и уравнение теплопроводности—примеры нестационарных уравнений, описывающих нестационарные процессы (есть зависимость решений от времени О-
3. Стационарные уравнения. Стационарные процессы описывают решения уравнений с частными производными и = и(х, у, г), в которых отсутствует зависимость от времени I. Если в волновом уравнении и уравнении теплопроводности положить
и(х, у, 2, /) = м(X, у, г), /(*, у, 2, 0=Д*’ У* 2)
и считать, что граничные условия не зависят от /, то приходим к стационарному уравнению вида
Здесь (х, у)є/)—плоская область, Трехмерное уравнение
или
д2и д2и д2и_ дх2^ ду2 + дг2 ^
А м=/,
(5.3.56)
оператор Лапласа.
215
В отличие от нестационарных уравнений начальные условия для (5.3.56) не задаются, остаются лишь граничные.
Уравнение (5.3.56) называется уравнением Пуассона. Однородное (/=0) уравнение Пуассона
Дм = 0 (5.3.57)
является уравнением Лапласа.
Решение (5.3.56) или (5.3.57) ищется в области П. Для однозначного определения решения задаются на границе Г области граничные условия
н|г = Фо(*, У, г)
(задача Дирихле) либо
(задача Неймана) или их комбинация.
Перечислим физические процессы, изучение которых сводится к решению уравнений (5.3.56), (5.3.57): распределение стационарного температурного поля в однородной среде, стационарная диффузия, электростатика однородной изотропной среды, магнитостатика, распределение поля постоянного электрического тока, потенциальное течение несжимаемой жидкости [31].
4. Корректность постановки задач для уравнений с частными производными. Задачу называют корректно поставленной, если решение:
1) существует в некотором классе функций;
2) единственное в некотором классе функций;
3) непрерывно зависит от входных данных задачи (начальные, граничные условия,; коэффициенты в уравнении и т. д.).
Это определение корректности распространяется и на другие математические задачи. Смысл его состоит в том, что класс корректно поставленных задач составляют только те задачи, решение которых «мало» изменится, если задачу «мало» изменить (возмутить). Математические задачи являются идеализацией естественных явлений, они получаются отбрасыванием многочисленных «не важных» деталей. Поэтому, решая конкретную задачу, необходимо быть уверенным, что она корректно поставлена, а значит, ее решение «близко» к естественному процессу.
Условия, обеспечивающие существование, единственность решения задачи Коши для ОДУ (см. п. 5.3.17) определяют корректно поставленные задачи.
Ниже рассматриваются краевые задачи для уравнений с частными производными также корректно поставленные.
Приведем пример некорректно поставленной задачи для уравнения Лапласа (пример Адамара). Рассмотрим уравнение
д2и д2и ^+т-т = 0
216
\
ч.
с условиями
Если перейти в условиях к пределу при К-+ оо, то предельная задача имеет решение
и(ху у) = 0.
Решение исходной задачи
и(х, у, K) = -^jshKxsinKy. К.
Заметим, что при К^> оо
и(х, у, К)+*О,
а это означает, что нарушено условие непрерывной зависимости решения от входных данных задачи (от К), т. е. задача некорректно поставлена.
Может сложиться впечатление, что решать некорректно поставленные задачи вообще не имеет смысла, а их постановка свидетельствует о неадекватной математической модели изучаемому явлению. Это мнение, широко распространенное до 60-х годов нашего столетия, было опровергнуто в работах советского математика А. Н. Тихонова, который показал естественные источники некорректно поставленных задач и предложил эффективные методы их решения [29, 30].
5. Метод Фурье для уравнения свободных колебаний струны. Рассмотрим задачу (5.3.50), (5.3.51), (5.3.52) с неоднородностью /=0, т. е. свободные колебания закрепленной на концах струны с начальным профилем ф0 (х) и начальной скоростью ф^х).
Ищем частные решения, не равные тождественно нулю, уравнения (5.3.50) в виде
равенство для функций переменных г и л; возможно только тогда, когда X—постоянное число, откуда получаем два дифференциальных уравнения:
и(х, t) = X(x) T(t). Подставляя в уравнение это выражение, найдем
Г'2(,) Х"х2(х)
а2 T(t) Х(х)
Т';,+а2КТ= 0;
лг;а+мг=о.
Предыдущая << 1 .. 66 67 68 69 70 71 < 72 > 73 74 75 76 77 78 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed