Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Боглаев Ю.П. -> "Вычислительная математика и программирование " -> 73

Вычислительная математика и программирование - Боглаев Ю.П.

Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование — Высшая школа, 1990. — 546 c.
ISBN 5-06-00623-9
Скачать (прямая ссылка): vychmatiprog1990.djvu
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 168 >> Следующая

(5.3.58)
(5.3.59)
217
Чтобы получить не равные тождественно нулю функции Х(х) с условиями
Х(0) = 0, Х(1) = 0, (5.3.60)
вытекающими из (5.3.52), следует решить задачу (5.3.59), (5.3.60) — задачу на собственные значения (задачу Штурма—Лиувилля): определить те значения А,, при которых она имеет нетривиальное решение. Эти значения называются собственными, а соответствующие решения Х(х) — собственными функциями.
Рассмотрев значения А,<0, >- = 0, >->0, можно найти, что собственные значения
,1 ^=(т)2’ *=1’ 2)
а соответствующие собственные функции
А'*(х)=5т^, к— 1, 2......
Отрицательные значения к приводят к собственным функциям, отличающимся множителем (—1), поэтому ниже рассматриваются лишь положительные к.
Для значений Х=Хк общее решение уравнения имеет вид (5.3.58):
^ / ч кпш , . кпш
Тк{г)=аксо%—+Ьк5т—,
где ак, Ък—произвольные константы. Функция
/ \ ' т I \ ( кпш , . кпш \ . кпх
ик(х, 1) = Хк{х)Тк{г) = \ак соъ — + Ъкып— Ьт—
удовлетворяет уравнению
д2и 2д2и
Л2=а
и граничным условиям
и{0, /) = 0, и{1, /) = 0 при произвольных ак, Ьк. Это же верно и для конечной суммы
решений ик(х, /), а также для ряда
и(х, /)= ? ик(х, ?),
к= 1
если ряд сходится и его можно почленно дважды дифференцировать по х и /.
Определим константы ак9 Ьк, чтобы удовлетворить начальным условиям (5.3.51). Для этого следует положить
00 . кпх у ч кпа. кпх ди
т. е. найти коэффициенты разложений функций ф0(*), Ф1^) в ряд Фурье; получаем
2 с / \ • ктьх . . 2 е / \ • к%х ,
ак = 7|фоМяп —к = ФЦ*)8111 —
Окончательно решение поставленной задачи записывается в виде
и(х> 0= Е
(21с / ч . &тос
у|фо(х)81П —
ах \cos-j—Ь
(2 1 / \ . &ял; . \ . кпаг] . кпх
— \ фх (х)81п — дЬс 1 вт—— ып —. (5.3.61)
Если начальные функции ф0 (х), фх (х) удовлетворяют условиям Фо(х)еС3[0, /], <р1(х)еС2[0, /],
Фо(О) = Фо(0 = °> Фо(0) = фо(/)=0, ф1(0) = ф1(/) = 0,
то возможно почленное дифференцирование ряда и полученные ряды сходятся абсолютно и равномерно при 0^л:</ и любом t. Если указанные условия нарушены, то может не существовать дважды непрерывно дифференцируемого решения (задача некорректно поставлена в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций; в этом случае решение определяется по-другому [31]).
Предположим, что интегралы в (5.3.61) можно взять аналитически, а ряд просуммировать; тогда получим аналитическое решение поставленной задачи методом Фурье. Очевидно, что если ф0, фх представляют собой конечные суммы
синусоид вида (т—целое), то ряд (5.3.61) сводится
к конечной сумме.
Методом Фурье, по аналогии с рассмотренной задачей, исследуются [31]: вынужденные колебания струны (//0); радиальные колебания газа в сфере и цилиндре; колебания прямоугольной и круглой мембраны и другие задачи.. При этом собственные функции задачи Штурма—Лиувилля могут выражаться через
специальные функции, например функции Бесселя.
6. Метод Фурье для уравнения теплопроводности. Рассмотрим задачу определения температуры в однородной тонкой пластине, контур которой поддерживается при температуре и = 0. Начальное распределение температуры задано — ф(х, у) (рис. 5.7). Эта задача сводится к решению ура-
внения
ди
дг
2( д2и
ду‘
(5.3.62)
в области ?>0 = {0<х^/?,
с начальным условием
219
и(х, у, 0)=ср(х, у), х, yeD0 (5.3.63)
при граничных условиях
и(х, у, t)\x=0 = u(x, у, *)1*=р = °> o^y^q,
и(х, У, /)|y=o = w(^» У, 01у=« = 0> 0^х^р. (5.3.64)
Согласно методу Фурье, частные решения (5.3.62) ищем в виде
u = X(x)Y(y)T(t).
Для определения X, Г, Т получаем уравнения
X *2 № х = 0,
4 Y;*+\i2y=о,
Т',+а2(Х2 + ц2)Т= О, где X2, ц2—константы. Общие решения этих уравнений:
Х{х) = ct cos Хх+с2 sin Xjc ,
, . Y ( >') = С'з COS |iJf + r4 sin \IX.
Г(/)=с5е_<,2(Х2+ц2)'.
Граничные условия приводят к следующим собственным значениям: . тп пп
К=—> Цц=—> я==1> 2, 3 ....
Р Я
Частные решения, удовлетворяющие (5.3.62) и (5.3.64), таковы:
„ -a21p(Tl+?l'\t . тп . пп
Um,n = am ,пЄ U2 Я2) 8Шу*8ШТ
Образуем ряд
и(х, у, /)= X ит<П(х, у, /).
т, п = 1
Неизвестные коэффициенты ат п определим из начального условия
/ \ ^ . тпх . пку
ф(*> У) = X ат,п* ш —вш—, т, и = 1 Р Я
т. е. — коэффициенты двойного ряда Фурье:
4 ? ? / \ • гаях . ияу , ,
ят „ = — ср(х, у)эт вт — ахау.
РЯо о Р Я
Окончательно решение поставленной задачи записывается в виде и(х, у, /)= ? ““11Ф(ЛГ’ З^іп — .хет — х
т, п = 1РЯ \ О О Р Я )
—а2к2(т21р2+п21а2)і • ™Я - ЛЯ хе Vі 14 х 8іп —у.
/> Я
220 Ч-
V.
Если ф(л:, у) представима в виде конечной суммы слагаемых вида
. тк . пп
sm — xsm—y, Р Я
то аналитическое ре-
Рис. 5.8
шение также сводится к конечной сумме элементарных функций. Методом Фурье, по аналогии с рассмотренной задачей, исследуются [31]: неоднородное уравнение теплопроводности; задачи распространения тепла в бесконечном цилиндре и цилиндре конечных размеров; задачи распространения тепла в однородном шаре и др.
7. Метод Фурье решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Рассмотрим уравнение (5.3.57) в круге
с условием
х2 +у2 <Го
и\г — Фо>
(5.3.65)
где Г — граница круга (рис. 5.8).
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 168 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed