Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Предположим теперь, что E+ (р) некомпактно для всех р Q М. Пусть с: (a, b) -> M — направленная в будущее непродолжаемая изотропная геодезическая. Пусть далее s и t удовлетворяют условию a <s< I < і, ав остальном произвольны. Применяя к точке р = с (s) лемму 7.20, находим, что с | Is, b) максимален и поэтому d (с (s), с (/)) = L (с | [s, /]). Это означает, что с максимальна, и, следовательно, с—изотропная прямая. Используя предложение 7.14, получаем, что (М, g) причинно разделяемо. ?
Сформулируем следствие из теорем 7.13 и 7.21.
Следствие 7.22. Пусть (M, g) —произвольное глобально гиперболическое пространство-время размерности 2. Тогда (М, g) содержит непространственноподобную прямую, Глава 8
ЛОРЕНЦЕВО МНОЖЕСТВО РАЗДЕЛА
Пусть с: [0, оо) ->¦ N — геодезическая в нолном римановом многообразии с начальной точкой р -= с (0). Рассмотрим на с множество всех точек cj, для которых часть кривой с от р до Cj является единственной кратчайшей среди всех кривых в N, соединяющих р и cj. Если это множество имеет наиболее удаленную от р предельную точку, то эта предельная точка называется точкой раздела для р вдоль луча с. Множество раздела С (р) определяется как множество точек раздела для р вдоль всевозможных геодезических лучей, начинающихся в р. Вследствие того что негомотетичные конформные преобразования не сохраняют предгеодези-ческих, множество раздела точки в многообразии не является конформным инвариантом.
Множество раздела играет ключевую роль в современной глобальной римановой геометрии, особенно в связи с теоремой о сфере Payxa (1951), Клингенберга (1959, 1961) и Берже (1960). Понятие точки раздела как противопоставление связанному с ним, но отличному понятию сопряженной точки было впервые определено Пуанкаре (1905). Наблюдение Пуанкаре, опубликованное в 1905 г. и оказавшееся важным для последующих работ Рауха, Клингенберга и Берже, состояло в том, что если для полного риманова многообразия точка q содержится в множестве раздела точки р, то либо q сопряжена р, либо существуют по крайней мере два геодезических сегмента одной и той же кратчайшей длины, соединяющие р и q (см. Уайтхед (1935)). Клингенберг (1959, с. 657) показал, что если q — ближайшая к р точка раздела и q не сопряжена р, то существует геодезическая петля, начинающаяся ври содержащая q. Клингенберг использовал этот результат для того, чтобы получить оценку сверху для радиуса инъективности полного риманова многообразия положительной кривизны через нижнюю грань секционной кривизны и длину наикратчайшей нетривиальной гладкой замкнутой геодезической на N.
Важность множества раздела в римановой геометрии наводит на мысль изучения аналогичных понятий и результатов для вре-мениподобных и изотропных геодезических в пространственно-временных многообразиях. Ведущая роль, которую играют в тео- 200
Г л. 8. Лоренцево множество раздела
рии сингулярностей в общей теории относительности тесно связанные с точками раздела сопряженные точки (см. гл. 11), подтверждает эту мысль. Несмотря на большое сходство между рима-новым множеством раздела и времениподобным множеством точек раздела, между римановым и лоренЦевым множествами раздела есть также и поразительные различия. Наиболее значительным является то, что точки изотропного раздела инвариантны относительно конформных преобразований. Таким образом, множество изотропного раздела является инвариантом причинной структуры пространства-времени (М, g). Это можно использовать для того, чтобы показать (см. Бим и Эрлих (1979а, следствие 5.3)), что если (M, g) —космологическая модель Фридмана, то в пространстве С (M, g) лоренцевых метрик для М, глобально конформных g, существует С2-окрестность U (g), у которой каждая изотропная геодезическая в (М, g]J является неполной для любой метрики
Si € V (g).
Ввиду существенных различий между изотропными и времени-подобными точками раздела предпочтительно изучать эти случаи по отдельности. Одно из таких отличий состоит в том, что в противоположность точкам изотропного раздела точки времениподоб-ного раздела неинвариантны при глобальных конформных преобразованиях лоренцевой метрики.
В разд. 8.1 мы рассмотрим аналог риманова множества раздела для времениподобных геодезических. В лоренцевом переложении времениподобные геодезические локально максимизируют длину дуги между любыми двумя своими точками. Поэтому при определении точек времениподобного раздела уместно задаться вопросом: является часть данного времениподобного геодезического сегмента от р до q наидлиннейшей непространственно-подобной кривой среди всех кривых в М, соединяющих р с q? Это можно удобно сформулировать при помощи лоренцевой функции расстояния. Пусть у: [0, а) -*¦ M — направленная в будущее непродолжаемая в будущее времениподобная геодезическая в произвольном пространстве-времени. Положим t0 — =-- sup \t є [0, a): d (у (0), у (/)) = L (у | [О, Л)}. Если 0 < < t0 < а, то у (t0) называется точкой времениподобного раздела в будущем для точки у (0) вдоль у. Точка времениподобного раздела в будущем у (to) обладает требуемыми свойствами: (а) если t < to, то у I [0, t\ является единственной с точностью до перепараметризации максимальной времениподобной кривой из у (0) в У (')>' (б) 7 I [0, Л максимальна для любого t с /0; (в) если t > > to, то найдется направленная в будущее непространственноподобная кривая сг, идущая из 7 (0) в 7 (t) и удовлетворяющая неравенству L (а) > L (7 | [0, /]); (г) точка раздела в будущем 7 (4) совпадает или предшествует первой точке, сопряженной в будущем точке 7 (0) вдоль 7. S.I. Множество времениподобного раздела
