Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Г л. 8. Лоренцево множество раздела
Если V Ф w, то с и Cw —два максимальных времениподобных геодезических сегмента из р в q.
Остается показать, что если v = w, то q—первая точка, сопряженная в будущем точке р вдоль с. Если v = w, то существует подпоследовательность {i>m} последовательности {tvl. такая, что Vm ->- v. Если бы V не была сопряженной точкой, то нашлась бы окрестность U вектора v в Т_гМ |р, отображение ехр;): U •—> РЛ которой инъективно. С другой стороны, из того, что Cn и с I [0, tn ] соединяют с (0) с с (tn) и vm ->- V, такой окрестности U существовать не может. Поэтому точка q сопряжена точке р вдоль с в будущем. Согласно следствию 8.11, q должна быть первой точкой, сопряженной р вдоль с в будущем. ?
Теорема 8.12 имеет непосредственное приложение: для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий q ? Ct (р) «=> р ? Cj (q).
Множество времениподобного раздела полного глобально гиперболического пространства-времени имеет следующее структурное свойство, уточняющее теорему 8.12. Из этой теоремы видно, что если q ? Ct (р) и q не является сопряженной р, то существует по крайней мере два максимальных геодезических сегмента из р в q. В соответствии с этим имеет смысл рассматривать множество
Seg (р) = \q ? Ct (р): существует по меньшей мере два направленных в будущее максимальных геодезических сегмента из р в q\.
Вследствие того что функция s: T^M -»-К U {оо}, согласно теореме 8.8, является непрерывной и в глобально гиперболических пространствах существуют максимальные геодезические, соединяющие произвольную пару причинно связанных точек, можно показать, что Seg (р) плотно в Ct (р) для всех р ? М. Доказательство этого факта можно провести, следуя доказательству Уолтером леммы 2 для полных римановых многообразий (см. Уолтер (1979, с. 93)).
Для множества времениподобного раздела в прошлом Ct (р) имеет место аналогичный результат.
8.2. Множество изотропного раздела
Определение точки изотропного раздела было дано Бимом и Эрлихом (1979а, разд. 5), где это понятие использовалось при доказательстве изотропной геодезической неполноты некоторых классов пространственно-временных многообразий. Пусть у: [0, а) ->- (М, g) —направленная в будущее изотропная геодезическая, исходящая из точки р — у (0). Положим t0 = sup \t ? [0, a): d (р, у (t)) = 0}. В случае если 0 < ^0 < а, будем называть 8.2. Множество изотропного раздела
209
точку 7 (t0) точкой изотропного раздела для точки р на с в будущем. Точки изотропного раздела в прошлом определяются аналогично. Обозначим через Cjv (р) (соответственно Cti (р)) множество изотропного раздела в будущем (соответственно в прошлом) для точки р, состоящее из всех точек изотропного раздела для точки р в будущем (соответственно в прошлом). Из определения множества Cjv (р) и полунепрерывности снизу расстояния вытекает, что d (р, q) = 0 для всех q ? Cjv (р). Множество непростран-ственноподобного раздела в будущем определим посредством формулы C+ (р) = Ct (р) U Cjv (р). Множество непространственнопо-добного раздела в прошлом определяется подобным же образом. Для подкласса глобально гиперболических пространств Бьюдик и Сакс (1976) дали другое, но эквивалентное определение точки изотропного раздела при помощи изотропных образующих границы множества I+ (р).
Геометрический смысл точек изотропного раздела схож с геометрическим смыслом точек времениподобного раздела: геодезическая 7 является максимальной от точки р вплоть до точки раздела 7 (Z0), включая и ее, т. е. L (у \ [0, t]) = d (р, у (I)) = 0 для всех t с t0. Таким образом, для любого t, t с /„, времениподобной кривой, которая соединяла бы р с 7 (t), не существует. Напротив, за точкой раздела 7 (tn) геодезическая 7 не является более максимальной. Действительно, каждую точку 7 (t), t0 < < t < а, можно соединить с р времениподобной кривой.
Используя предложение 2.19 Пенроуза (1972, с. 15) и определение максимальности, можно легко доказать следующую лемму.
Лемма 8.13. Пусть (М, g) —сильно причинное простран-ство-время. Если существует два изотропных геодезических сегмента, соединяющих р с q, то на каждом из них точка q либо совпадает с точкой изотропного раздела для точки р, либо расположена за ней.
Пример цилиндра S1 X К с лоренцевой метрикой ds2 = dd dt показывает, что условие причинности многообразия (М, g) в лемме 8.13 нельзя отбросить.
Перейдем к доказательству изотропного аналога леммы 8.6.
Лемма 8.14. Пусть (М, g) глобально гиперболично и с: [0, t ] -»¦ -»¦ (М, g) —направленная в будущее изотропная геодезическая, идущая из точки р = с (0) в точку q = с (t), которые связаны условием d (р, q) — 0. Предположим, что рп -»¦ р, qn -»¦ q и рп С С qn. Пусть сп —максимальная геодезическая, соединяющая рп и qn и имеющая начальное направление vn. Тогда множество направлений } имеет предельное направление w и Cw является максимальной изотропной геодезической из р в q. 210
Г л. 8. Лоренцево множество раздела
Доказательство. Применяя следствие 2.19, построим направленную в будущее непространственноподобную предельную кривую X из р в q. Кривая X в силу равенства d (р, <7) = 0 должна удовлетворять условию L (К) = 0. Отсюда следует, что X можно перепараметризовать в максимальную изотропную геодезическую. ?
