Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 8.18. Пусть /: (M1, gi)->(M2, g2) —глобально конформный диффеоморфизм (M1, gj на (M2, g2). Пусть у: [0, а) -*¦ -*¦ (Mi, gi) —изотропная геодезическая на M1. Если q = у (t0) — точка изотропного раздела для точки р = у (0) вдоль геодезиче-1 ской у, то f (q) является точкой изотропного раздела для f (р) вдоль изотропной предгеодезической f о у: [0, а) -*¦ (M2, g2).
Доказательство. Достаточно предположить, что q является точкой изотропного раздела для точки р вдоль у в будущем и что (M2, g2) ориентировано во времени так, что f о у является направленной в будущее изотропной кривой в (M2, g2). Перепараметризуем / о у в направленную в будущее изотропную геодезическую а: [0, Ь) ->- (M2, g2), что возможно в силу леммы 8.17, при этом так, чтобы f (р) = а (0). Тогда f (q) = a (ti) для некоторого t1 Є (0, b). 8.2. Множество изотропного раздела
213
Обозначим через d; лоренцеву функцию расстояния пространства-времени (Mj1 gi), 1 = 1, 2.
Покажем сначала, что d2 (ст (0), ст (t)) = 0 для любого t, 0 С t с t1. Предположим противное: d2 (ст (0), ст (t)) ф 0 для некоторого t, 0 < I с Z1. Тогда в M2 можно найти направленную в будущее непространственноподобную кривую ? из ff (0) в ст (1), для которой Lg2 (?) > 0, Тогда f"1 о ? является направленной в будущее непространственноподобной кривой в M1 из р в f"1 (ст (()), длина которой Lgl (Г1 ° ?) >0. Вследствие равенства f (q) = = ff (Z1) для некоторого t2 < /0 имеем Г1 (сг (/)) у (t.2). Отсюда следует, что Ci1 (р, Y (ti)) Sa Lgt (/-1 о ?) >0. Но это противоречит тому, что di (р, Y (Z2)) = 0. Последнее справедливо в силу того, что t2 < t0 и Y (to) Я —точка изотропного раздела для р вдоль Y в будущем.
Покажем теперь, что d2 (ст (0), ст (/)) Ф 0 для любого t > Z1, т. е. / (q) -- ст (Z1) является точкой изотропного раздела в будущем для точки / (р) вдоль ст, как и требуется. Зафиксируем для этого t > Z1. Тогда найдется t2 > t0, для которого Г1 (ff (0) = У (^)-В силу того что Y = Я — точка изотропного раздела в будущем для р вдоль у, имеем dj (р, у (to)) > 0. Значит, существует направленная в будущее непространственноподобная кривая а из р в Y (ti) длиной L;;, (а) > 0. Тогда / о а — направленная в будущее непространственноподобная кривая из / (р) в ст (t). Следовательно, d2 (/ (р), а (()) Lg2 (/о а) > 0, как и требовалось. ?
Доказав предложение 8.18, мы имеем все основания использовать множество изотропного раздела для изучения изотропной геодезической неполноты. Напомним, что геодезическая называется неполной, если ее нельзя продолжить на все значения аффинного параметра (см. определение 5.2).
Пусть R и Ric — соответственно тензор кривизны и тензор кривизны Риччи пространства-времени (М, g). Говорят, что непродолжаемая изотропная геодезическая Y удовлетворяет типовому условию, если для некоторого значения параметра t существует ненулевой касательный вектор v ? Ty щМ, подчиненный условию g (v, у' (t)) = 0 и такой, что вектор R (v, у' (t)) у' (t) ненулевой и непропорционален у' (t) (см. определение 11.7, разд. 11.2). В частности, если Ric (v, v) > 0 для всех изотропных векторов V ? TM, то каждая непродолжаемая изотропная геодезическая пространства-времени (М, g) удовлетворяет типовому условию. В разд. 11.2 будет показано, что для выполнения изотропного типового условия требование dim M Js 3 необходимо. Поэтому в следующем предложении мы будем предполагать, что dim M 3.
Предложение 8.19. Пусть (М, g) —пространство-время размерности такое, что все непродолжаемые изотропные гео- 214
Г л. 8. Лоренцево множество раздела
дезические удовлетворяют типовому условию и Ric (v, v) > О для всех изотропных векторов. Если (M, g) глобально конформно диффгоморфно открытому подмножеству пространства-времени (M', g'), не имеющему точек изотропного раздела, то все изотропные геодезические (М, g) неполны.
Доказательство. В предложении 4.4.5 Хокинга и Эллиса (1977, с. 115) показано, что если кривизна Риччи неотрицательна на всех изотропных векторах, то каждая полная изотропная геодезическая, удовлетворяющая типовому условию, имеет сопряженные точки (см, предложение 11,17), Так как максимальные геодезические не содержат сопряженных точек, то для доказательства неполноты всех изотропных геодезических пространства-времени (Al, g) необходимо убедиться только в том, что каждая из них максимальна. Предположим, что направленная в будущее изотропная геодезическая у из р в q не максимальна. Тогда существует времениподобная кривая, соединяющая р с q, В силу того что конформный диффеоморфизм переводит изотропные геодезические в изотропные предгеодезические, а времениподобные кривые во времениподобные кривые, образ у должен быть немаксимальной изотропной геодезической в пространстве-времени (M', g'). Это означает, что (M', g') имеет точку изотропного раздела, что и приводит к противоречию. ?
Напомним, что четырехмерная статическая вселенная Эйнштейна (пример 4.11) представляет собой цилиндр х2 + у2 + + Z2 + W2 = 1, вложенный в Rb с метрикой, индуцированной на нем метрикой Минковского ds2 = —dt2 + dx2 + dy2 + dz2 + dw2. Тем самым статическая вселенная Эйнштейна есть R X S3 с метрикой лоренцева произведения. Геодезические и точки изотропного раздела в этом пространстве-времени легко определяются. Множество изотропного раздела точки (t, х, у, z, w) состоит просто из двух точек (t + л, —х, —у, —г, —w). Следовательно, подмножество M' = \(t, х, у, z, w): 0 < t < я, X2 + у2 + z2 + w2 = = 1} обладает тем свойством, что Cv (P) П M-' = 0 для всех р ? M'. Из предложения 8.19 вытекает тогда следующее утверждение.
