Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Приводимый ниже пример сильно причинного пространства-времени, не являющегося глобально гиперболическим, показывает, что условие глобальной гиперболичности в предложении 8.7 является необходимым для полунепрерывности снизу s. Пусть на !R2 задана обычная метрика Минковского Js2 = dx2 —dy1 и (М, g) — пространство-время, образованное путем оснащения M = R2 \ j(l, у) ? R2: 1 < у < 2} индуцированной метрикой (рис. 8.1). Пусть р = (0, 0), рп = (Mn, 0) и У = д/ду\р, vn = = д/ду\р для всех п 1. Тогда V11 v при п оо. Пусть
далее Y (0 = (0, 0 и Y/i (0 = (Рп, 0 для всех t ^э 0. Конформно преобразуя g на указанном на рис. 8.1 компактном множестве С, отделенном от I+ (р) разрезом {(1, у) ? R2: 1 с у с 2\, получим для M метрику g со следующими свойствами. Прежде всего, Y еще является максимальной геодезической в (М, g), так что s (у) = +оо. Но для каждого п существует времениподобная кривая оп, пересекающая множество С и соединяющая точку рп с точкой qn = (Mn, уп), уп < 4, на уп так, что L (ап) > L (у Ipn, qn ]). Следовательно, Y ІРп, ЯпА не может быть максимальной для всех п. Отсюда вытекает, что s (vn) < 4 для всех п. Поэтому функция s не является полунепрерывной снизу. Заметим, что (М, g) сильно причинно, но не глобально гиперболично вследствие того, что J+ ((1, 0)) П J~ ((1, 3)) некомпактно. Аналогичная конструкция, примененная к n-мерному пространству Минковского, позволяет построить сильно причинное n-мерное пространство-время, для которого функция s не может быть полунепрерывной снизу. 206
Г л. 8. Лоренцево множество раздела
Рис. 8.1. Показано сильно причинное пространство-время (М, g), содержащее последовательность единичных времениподобных касательных векторов vn, которая сходится к v, но s (и) = оо и s (vn) :? 4 для всех п ^t 1. Поэтому функция s: Т_гМ ->-RU {оо} не является полунепрерывной снизу.
Можно построить также примеры глобально гиперболических пространственно-временных многообразий, для которых функция s не является полунепрерывной сверху.
Объединяя предложения 8.5 и 8.7, получаем следующий результат.
Теорема 8.8. Если пространство-время (M, g) глобально гиперболично и времениподобно геодезически полно, то s: TL1 M -* -+R U I оо} непрерывна.
Теперь мы готовы определить множество времениподобного раздела.
Определение 8.9. Множество времениподобного раздела в будущем Г+ (р) в пространстве TpM определяется по следующему правилу: F+ (р) = {s (у) v: v ? T^1M р и О < s (у) < оо|. Множество времениподобного раздела в будущем Ct (р) для точки р в M определяется по формуле Ct (р) = ехрр (Г+ (р)). Если О < < s (v) < оо и cv (s (V)) существует, то точка Cv (s (V)) называется S.I. Множество времениподобного раздела
207
точкой раздела в будущем для р = Cv (0) вдоль cv. Множество времениподобного раздела в прошлом Cl (р) и точки раздела в про' шлом определяются аналогично.
Величину s (V) можно интерпретировать как меру расстояния от точки р до точки раздела вдоль Cv в будущем. Таким образом, теорема 8.8 означает, что для глобально гиперболических времениподобно геодезически полных пространственно-временных многообразий расстояние от фиксированной точки р ? M до соответствующей ей в направлении v ? Т_±М точки раздела в будущем является непрерывной функцией ОТ V.
Приведем теперь лоренцевы аналоги двух хорошо известных результатов, связывающих в полных римановых многообразиях точки раздела и сопряженные точки. Следующее свойство сопряженных точек хорошо известно (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 125 — 129), Лернер (1972, теорема 4 (6))).
Теорема 8.10. Времениподобная геодезическая не является ма ксимальной за первой сопряженной точкой.
На языке определения 8.9 это можно сформулировать следующим образом.
Следствие 8.11. Точка раздела в будущем для точки р = = Cv (0) вдоль cv появляется не позже, чем первая точка, сопряженная р вдоль Cv в будущем.
Используя этот факт, можно доказать второй основной результат о точках раздела и сопряженных точках в глобально гиперболических пространствах.
Теорема 8.12. Пусть (М, g) глобально гиперболично. Если q = с (t) является точкой раздела в будущем для точки р = с (Q) вдоль времениподобной геодезической с из р в q, то выполняется хотя бы одно (возможно, и оба) из следующих утверждений'.
(1) q — первая точка, сопряженная в будущем точке р вдоль с.
(2) Существует по меньшей мере два максимальных времени-подобных геодезических сегмента из р в q.
Доказательство. Без потери общности можно считать, что с = Cv для некоторого V ? Т_гМ, и, значит, t = d (р, q) = s (v). Пусть {/„} —монотонно убывающая последовательность вещественных чисел, сходящаяся к t. Из включения с (t) ? M вытекает, что точки с (tn) существуют для достаточно больших п. В силу глобальной гиперболичности с (0) и с (tn) можно соединить максимальной времениподобной геодезической Cn = Cvn, у которой vn Є Tl1M |р. Из того, что tn > t — s (v), получаем, что v Ф Vn для всех п. Пусть w ? Т_гМ —времениподобный предельный вектор для последовательности Jfn} (он существует по лемме 8.6). 208
