Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
201
Ввиду того что многие теоремы для римановых точек раздела справедливы только для полных римановых многообразий, представляется совсем неудивительным, что более «глобальные» результаты, приводимые во второй половине разд. 8.1, часто требуют глобальной гиперболичности. И здесь существенно выяснить — можно ли хронологически связанные точки, находящиеся на произвольно больших расстояниях, соединить максимальными времениподобными геодезическими сегментами. Даже в этом случае доказательства для пространственно-временных многообразий носят более технический характер, чем для римановых многообразий. Вместо того чтобы, как в римановой геометрии, прямо использовать экспоненциальное отображение, необходимо рассмотреть последовательность максимальных времениподобных геодезических как последовательность непространственноподобных кривых, выделить предельную кривую, взять подпоследовательность, сходящуюся к этому пределу в С°-топологии (см. разд. 2.3), и, наконец, используя полунепрерывность сверху длины дуги, доказать, что предельная кривая является максимальной и, значит, геодезической. Этот технический прием, выделенный в лемму 8.6, дает следующий аналог теоремы Пуанкаре, известной для полных римановых многообразий. Если (М, g) — глобально гиперболическое пространство-время и q является точкой раздела в будущем для р вдоль времениподобного геодезического сегмента с из р в q, то выполняются одно или оба следующих утверждения: (a) q — первая точка, сопряженная р в будущем, или (б) существует не менее двух максимальных геодезических сегментов из р в q.
В разд. 8.2 мы изучим точки изотропного раздела. Несмотря на то что изотропные геодезические имеют нулевую длину дуги, точки изотропного раздела можно определить при помощи лоренцевой функции расстояния. Пусть у: [0, а) -* М, у (0) = р, — направленная в будущее непродолжаемая в будущее изотропная геодезическая. Положим /0 = sup {/ ? [0, a): d (р, у (t)) = 0}. Если 0 < /0 < а, то у (I0) называется точкой изотропного раздела в будущем для у (0) вдоль у. Точка изотропного раздела, если она существует, обладает следующими свойствами: (а) у максимизирует длину дуги вплоть до точки изотропного раздела, включая последнюю; (б) для любого t < I0 не существует никакой времениподобной кривой, соединяющей р с у (/); (в) если t0 < t < а, то существует времениподобная кривая из у (0) в у (/); (г) точка изотропного раздела в будущем совпадает с первой точкой, сопряженной у (0) вдоль у в будущем, или предшествует ей. Для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий аналог теоремы Пуанкаре для полных римановых многообразий выполняется как для точек изотропного раздела, так и для точек времениподобного раздела. Следовательно, если 202
Г л. 8. Лоренцево множество раздела
(М, g) глобально гиперболично и q —точка изотропного раздела точки р = у (0) в будущем вдоль изотропной геодезической у, то выполняется хотя бы одно из следующих свойств: (a) q — первая точка, сопряженная точке р в будущем вдоль у, или (б) существуют по крайней мере два максимальных изотропных геодезических сегмента, соединяющих риг/. Мы завершим разд. 8.2, показывая (следуя Биму и Эрлиху (1979а, разд. 5)), как можно применять точки изотропного раздела к доказательству теорем о сингуляр-ностях для изотропных геодезических.
Множество непространственноподобного раздела — объединение множеств изотропного и времениподобного раздела в данной точке — изучается в разд. 8.3. Для полных римановых многообразий известно, что если q — ближайшая к р точка раздела, то либо q сопряжена р, либо существует геодезическая петля, начинающаяся ври проходящая через q. Однако глобально гиперболический аналог этого результата (теорема 8.24) имеет несколько иной оттенок. Если (М, g) —глобально гиперболическое пространство-время и q ? M — ближайшая к р точка (непространственноподобного) раздела, то либо q сопряжена р, либо q —точка изотропного раздела для р. Поэтохму ближайшей несопряженной точки времениподобного раздела для р не существует. Мы покажем также, что для глобально гиперболических пространственно-временных многообразий множества непространственноподобного и изотропного разделов замкнуты (предложение 8.29). Причем можно будет убедиться (пример 8.28), что предположение о глобальной гиперболичности здесь существенно.
8.1. Множество времениподобного раздела
Напомним, что направленная в будущее непространственноподобная кривая у из р в q называется максимальной, если d (р, q) = L (7). Выше мы видели, что максимальную направленную в будущее непространственноподобную кривую можно путем перепараметризации сделать геодезической (теорема 3.13). Напомним также аналог одного классического результата из римановой геометрии. Доказательство этого утверждения можно провести, следуя Кобаяси (1967, с. 99). При этом вместо минимального геодезического сегмента из рх в р2 в римановом доказательстве нужно использовать следующий факт. Если р и точки р, q содержатся в выпуклой нормальной окрестности, то их можно соединить максимальным времениподобным геодезическим сегментом, лежащим в этой окрестности.
