Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бим Дж. -> "Глобальная лоренцева геометрия" -> 90

Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.

Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия — М.: Мир, 1985. — 400 c.
Скачать (прямая ссылка): globalniegeometriya1985.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 167 >> Следующая


Теперь можно получить изотропный аналог теоремы 8.12.

Теорема 8.15. Пусть (M, g) глобально гиперболично и q = = с (t) — точка изотропного раздела в будущем для точки р = — с (0) вдоль изотропной геодезической с. Тогда имеет место хотя бы одно (возможно, и оба) из следующих утверждений:

(1) q —первая точка, сопряженная точке р вдоль с в будущем.

(2) Существует по меньшей мере два максимальных изотропных геодезических сегмента из р в q.

Доказательство. Положим v — с' (0). Пусть tn —монотонно убывающая последовательность вещественных чисел, tn t. В силу включения q ? M точки с (tn) определены для всех достаточно больших п. Пз того, что (M, g) глобально гиперболично, вытекает существование максимальных непространственноподобных геодезических сп с начальными направлениями vn, соединяющих р с с (t„). Согласно лемме 8.14, множество направлений имеет предельное направление w. Если v Ф w, то геодезическая сш является второй максимальной изотропной геодезической, соединяющей р с q, так как d (р, q) = 0. Если же v = w, то q сопряжена р вдоль с. Из равенства d (р, q) = 0 вытекает, что точка q должна быть первой сопряженной точкой геодезической с (см. теорему 9.72). U

Покажем теперь, как множество изотропного раздела можно использовать в доказательстве теорем об устойчивости изотропной геодезической неполноты. Наводящие соображения, в известной степени обосновывающие такой подход, состоят, во-первых, в том, что большое число физически интересных пространственно-временных многообразий можно конформно вложить в часть статической вселенной Эйнштейна (см. пример 4.11), свободной от изотропных точек раздела, а во-вторых, в том, что точки изотропного раздела инвариантны относительно конформных преобразований метрики. Глобально конформные вложения пространства-времени де Ситтера 2-го рода и космологических моделей Фридмана описаны Пенроузом (1972а) (см. Хокинг и Эллис (1977, с. 150—157)).

Сейчас в кратком отступлении мы приведем прямые вычисления, обосновывающие хорошо известный факт, что изотропные предгеодезические инвариантны относительно глобально конформных преобразований. Доказательство конформной инвариантности 8.2. Множество изотропного раздела

211

точек изотропного раздела можно провести также при помощи лоренцевой функции расстояния.

Напомним, что гладкая кривая у: J M называется пред-геодезической, если 7 можно перепараметризовать в гладкую кривую с, удовлетворяющую дифференциальному уравнению геодезических Vc- с' (t) = 0. Напомним также следующее

Определение 8.16. Диффеоморфизм /: (M1, g^ ->- (M2, g2) многообразия M1 на многообразие M2 называется глобально конформным диффеоморфизмом, если существует гладкая функция Q: M ->- R, такая, что

/? = ^,.

Пространство-время (M1, g^) называется глобально конформно диффюморфным открытому подмножеству U пространства-времени (M2, g2), если существуют диффеоморфизм /: M1 U и гладкая функция Q: M1 R, такие, что

Pfe2 I U)= C^g1.

Использование в определении 8.16 вместо положительно определенной функции множителя вида e2Q необходимо для того, чтобы дать возможно более простую формулу, описывающую зависимость между связностью V для (M1, g^ и связностью V для (M2, g2). Можно показать непосредственно, что если /*g2 = = e2?gb где /: (M1, gj) ->- (M2, g2) — гладкое отображение, то

V/. >UY |/ (;)) = f.,VxY\р -f Xp (Q) f,Y (р) +

-f Yp (Q) (р) - gl (X (р), Y (р)) f, (grad Q (р)) (8.1)

для любой пары X, Y векторных полей на M1. Здесь через grad Q обозначено векторное поле градиента функции Q относительно метрики gx на M1.

При помощи формулы (8.1) можно показать, что если 7: J -*¦ ->- M1 —изотропная геодезическая в (M1, gx), то а = /07: J ->- M2 — изотропная предгеодезическая в (M2, g2). Суть дела в том, что так как 7' (t) изотропен и Vv-7' = 0, то формула (8.1) упрощается:

V0-ct' (0 = 27' (0 (Q) а' (I),

где t ? J любое. Заметим, однако, что если 7 была бы времениподобной, то множитель gi (7', 7') Ac (grad ?2) в формуле (8.1) препятствовал бы тому, чтобы f о у была времениподобной пред-геодезической в (M2, g2).

Лемма 8.17. Пусть /: (M1, gx) ->- (M2, g2) —глобально конформный диффеоморфизм M1 на M2. Тогда у: J ->- (M1, gx) является изотропной предгеодезической в (M1, gx) в том и только 212

Г л. 8. Лоренцево множество раздела

том случае, когда f о у является изотропной пред геодезической в (M2, g2).

Доказательство. Ввиду того что /-1: (M2, g2) ->- (M1, gx) также является конформным диффеоморфизмом, достаточно показать, что если уM1 —изотропная геодезическая, то a = foy — изотропная предгеодезическая в (M2, g2), т. е. мы должны показать, что в пространстве-времени (M2, g2) о можно перепараметризовать в изотропную геодезическую. Однако уже было показано, что для некоторой гладкой функции /'. J -*¦ R

Vca' (t) --- / (I) а' (/). (8.2)

Так же как и в классической теории проективно эквивалентных связностей в римановой геометрии, формула (8.2) означает, что а — предгеодезическая (см. Спивак (1970, с. 6-35—6-37)). ]

Теперь мы подготовлены к тому, чтобы доказать конформную инвариантность точек изотропного раздела относительно глобально конформных диффеоморфизмов /: (M1. gi) ->- (M2, g2). Заметим, что если (M1, gl) ориентировано во времени векторным полем X1, то (М.,, g2) ориентировано во времени либо векторным полем X2 --- /VY1, либо —X2. Если M2 ориентировано во времени полем X2, то / отображает направленные в будущее кривые в направленные в будущее кривые, и поэтому точки изотропного раздела в будущем (соответственно в прошлом) переходят в точки изотропного раздела в будущем (соответственно в прошлом) (см, предложение 8,18). Напротив, если M2 ориентировано во времени полем —X2, то / отображает точки изотропного раздела в будущем (соответственно в прошлом) в точки изотропного раздела в прошлом (соответственно в будущем) вследствие того, что при отображении / кривые, направленные в будущее, переходят в кривые, направленные в прошлое.
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 167 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed