Глобальная лоренцева геометрия - Бим Дж.
Скачать (прямая ссылка):
* Гл. 7. Максимальные геодезические
правленного в будущее изотропного геодезического луча. Времениподобная кривая у пересекает E+ (р) в единственной точке г, и любая непространственноподобная кривая Я из Pn в Яп должна встретить E+ (р).
мениподобна, у встречает E+ (р) только в точке г. Пусть \рп\ и {<7„| —Две последовательности точек на 7, расходящиеся к бесконечности, причем так, что рп С т <<С qn для каждого п (см. предложение 2.9). Чтобы показать, что \рп], \qn] и E+ (р) причинно разделяют (М, g), нужно убедиться в том, что для каждого п любая непространственноподобная кривая A,: [0, 1 ] —*- М, у которой % (0) = рп и К (1) = qn, пересекает E+ (р). Продолжим X до непродолжаемой в прошлое кривой которая получится, если сначала пройги по 7 вплоть до рп, а затем по К от рп до qn (рис. 7.2). Так как qn G D+ (E+ (р)), то кривая К должна пересекать E+ (р). Вследствие того что 7 встречает E+ (р) только в г, X пересекает E+ (р). Поэтому \рпЬ и K = E+ (р) причинно
разделяют (М, g), как и требовалось. ?
Объединяя теорему 7.13 и предложение 7.18, получим следующий результат о геодезической структуре сильно причинных 7.3. Причинно разделяемые пространственно-временные многообразия 18Э
пространственно-временных многообразий, не содержащих изотропных геодезических лучей. Примерами таких многообразий являются статические вселенные Эйнштейна (пример 4.11).
Теорема 7.19. Пусть (М, g) —сильно причинное пространство-время, ни одна точка которого не является начальной ни для какого направленного в будущее изотропного геодезического луча. Тогда (М, g) содержит времениподобную геодезическую прямую.
Доказательство. Согласно предложению 7.18, (М, g) причинно разделяемо. Поэтому в силу теоремы 7.13 (М, g) содержит непространственноподобную прямую. По предположению прямая линия должна быть времениподобной, а не изотропной. ?
Эквивалентный результат можно сформулировать, используя предположение о том, что ни одна точка не является начальной точкой никакого направленного в прошлое геодезического луча.
Используя предложения 7.14 и 7.18, мы можем показать теперь, что все двумерные глобально гиперболические пространственно-временные многообразия причинно разделяемы. Установим сначала следующую лемму.
Лемма 7.20. Пусть (М, g) —двумерное глобально гиперболическое пространство-время. Если E+ (р) (соответственно Е~ (р)) некомпактно, то обе изотропные геодезические, и направленные в будущее (соответственно в прошлое), и непродолжаемые в будущее (соответственно в прошлое), начинающиеся в точке р, максимальны.
Доказательство. Предположим, что E+ (р) некомпактно для некоторой точки р ? М. Пусть C1: [0, а) -> M и с2: [0, Ь) -*¦ M — две направленные в будущее непродолжаемые в будущее изотропные геодезические, у которых C1 (0) = C2 (0) = р. Допустим, что C1 не максимальна. Полагая ^0 = sup \t ? 10, a): d (р, C1 (t)) — = 0}, имеем 0 < ^0 < а вследствие того, что C1 не максимальна, а (М, g) сильно причинно (см. разд. 8.2). Положим q = C1 (^0) и выберем in -v to так, чтобы tn < а для всех п. Из полунепрерывности снизу лоренцева расстояния имеем d (р, q) — 0. Так как C1 (tn) Є I+ (р), а (М, g) глобально гиперболично, то для каждого п найдется максимальная направленная в будущее времениподобная геодезическая уп из р в C1 (tn). Согласно следствию 2.19, последовательность \уп\ имеет предельную кривую у, являющуюся непространственноподобной геодезической из р в q. Кроме того, равенство d (р, q) = 0 означает, что у — изотропная геодезическая. Из того, что dim M — 2, вытекает, что у —либо подсегмент геодезической C1, либо подсегмент геодезической C2. Если у Cz с2, то C2 проходит через q при некотором значении пара- 198
* Гл. 7. Максимальные геодезические
метра t0. В этом случае E+ (р) = C11 [0, /„ ] U C21 [0, to ] компактно, и мы приходим к противоречию.
Предположим, что у Cz C1. Пусть U (q) —выпуклая нормальная окрестность точки q. Выберем U (q) столь малой, что никакая непространственноподобная кривая, покидающая U (q), никогда не возвращается. Непродолжаемые изотропные геодезические из U (q) можно разделить на два непересекающихся семейства F1 и Ft, каждое из которых просто покрывает U (q) (см. разд. 2.4). Пусть F1 —тот класс, который содержит изотропную геодезическую C1 П U (q)- Обозначим через C3 единственную изотропную геодезическую из Fi, которая содержит q. Для некоторого достаточно большого п времениподобная геодезическая уп должна пересекать C3 в некоторой точке г. При этом должно выполняться условие q < г ввиду того, что если бы г с q, то р С г привело бы к р << q, которое неверно. Однако условия q с г, q = C1 Г) Ci, q < C1 (tn) и г Q с3 означают, что г ^ C1 (/„) (см. Буземан и Бим (1966, с. 245)). Это противоречит тому, что г -С C1 (/„), так как г появляется на времениподобной геодезической уп прежде C1 (tn). Это и завершает доказательство леммы. ?
Теорема 7.21. Все двумерные глобально гиперболические пространства причинно разделяемы.
Доказательство. Пусть (М, g) —двумерное глобально гиперболическое пространство-время. Если для некоторой точки р0 Q M множество E+ (рй) компактно, то каждая направленная в будущее изотропная геодезическая, начинающаяся в р0, имеет точку раздела и поэтому не может быть глобально максимальной (см. разд. 8.2). Поэтому в силу предложения 7.18 (М, g) причинно разделяемо.
